Estatística de Maxwell–Boltzmann

Gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann.

Em mecânica estatística, a estatística de Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição estatística de partículas materiais em vários estados de energia em equilíbrio térmico, quando a temperatura é alta o suficiente e a densidade é baixa suficiente para tornar os efeitos quânticos negligenciáveis. A estatística Maxwell–Boltzmann é consequentemente aplicável a quase qualquer fenômeno terrestre para os quais a temperatura está acima de poucas dezenas de kelvins.

O número esperado de partículas com energia ${ϵ}_i$ para a estatística de Maxwell–Boltzmann é $N_i$ onde:

$\frac{N_i}{N}=\frac{g_i}{e^{({ϵ}_i-\mu )/kT}}=\frac{g_i{e}^{-{ϵ}_i/kT}}{Z}$

onde:

• $N_i$ é o número de partículas no estado i
• ${ϵ}_i$ é a energia do estado i-ésimo
• $g_i$ é a degenerescência do nível de energia i, o número de estados dos partículas (excluindo o estado de "partícula livre") com energia ${ϵ}_i$
• $\mu$ é o potencial químico
• $k$ é a constante de Boltzmann
• $T$ é a temperatura absoluta
• $N$ é o número total de partículas

$N=\sum _i{N}_i$

• $Z$ é a função partição

$Z=\sum _i{g}_i{e}^{-{ϵ}_i/kT}$

• $e^{(...)}$ é a função exponencial, sendo e o número de Euler

A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem sido aplicada especialmente à teoria cinética dos gases, e outros sistemas físicos, além de em econofísica para predizer a distribuição da renda. Na realidade a distribuição de Maxwell-Boltzmann é aplicável a qualquer sistema formado por N "partículas" ou "indivíduos" que interacambiam estacionariamente entre si uma certa magnitude $m$ e cada um deles têm uma quantidade $m_i$ da magnitude $m$ e ao longo do tempo ocorre que $\sum _{i=1}^{N}M=m_1+m_2+...+m_N$.

Limites de aplicação

Para um sistema de partículas quânticas, a hipótese de que $N_i$ seja substancialmente menor que $g_i$ para os estados diferentes do fundamental em geral não se cumprirá e é necessário recorrer-se à estatística de Bose-Einstein se as partículas são bosônicas ou à estatística de Fermi-Dirac se as partículas são fermiônicas.

As estatísticas de Bose–Einstein e Fermi–Dirac podem ser expressas como:

$N_i=\frac{g_i}{e^{({ϵ}_i-\mu )/kT}\pm 1}$

Assumindo que o valor mínimo de ${ϵ}_i$ é bastante pequeno, se pode verificar que a condição na qual a distribuição de Maxwell-Boltzmann é válida é quando se cumpre que:

$e^{-\mu /kT}\gg 1$

Para um gás ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvimento da equação de Sackur–Tetrode para demonstrar que:

$\mu ={\left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)}_{S,V}=-kT\ln \left(\frac{V}{N{\mathrm{\Lambda }}^3}\right)$

onde $E$ é a energia interna total, $S$ é a entropia, $V$ é o volume, e $\mathrm{\Lambda }$ é o comprimento de onda térmico de de Broglie. A condição de aplicação para a distribuição Maxwell-Boltzmann em um gás ideal resulta:

$\frac{V}{N{\mathrm{\Lambda }}^3}\gg 1.$

Ver também

• Estatística de Bose-Einstein
• Estatística de Fermi-Dirac