Derivada material

Em matemática, a derivada material (também chamada de derivada substancial) é uma derivada tomada ao longo de um caminho movendo-se com velocidade v, e é frequentemente utilizada em mecânica dos fluidos e mecânica clássica. Ela é descrita como a taxa de variação em relação ao tempo do valor de alguma propriedade (tal como calor ou momento) de matéria/substância que está sendo transportada. Ou seja, de alguma matéria que está sujeita a um campo de velocidade que varia no espaço e no tempo.

Há vários outros nomes ao operador, incluindo:

• derivada substantiva
• derivada substancial
• derivada Lagrangiana
• derivada de Stokes

Definição

A derivada material de um campo escalar φ( x, t ) e de um campo vetorial u( x, t ) são definidas respectivamente como:

$\frac{D\phi }{Dt}=\frac{\partial \phi }{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }\phi ,$

$\frac{D𝐮}{Dt}=\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝐮,$

onde a distinção é que $\mathrm{\nabla }\phi$ é o gradiente de um escalar, enquanto $\mathrm{\nabla }𝐮$ é a derivada tensorial de um vetor. No caso de uma derivada material de um campo vectorial, o termo v•∇u pode tanto ser interpretado como v•(∇u) envolvendo a derivada tensorial de u, ou como as (v•∇)u, levando ao mesmo resultado.

Inconvenientemente, o termo derivada convectiva é utilizado por vezes tanto para se referir à derivada material Dφ/Dt ou Du/Dt, quanto para o termo referente a taxa de variação espacial, v•∇φ ou v•∇u.

Desenvolvimento

Considere uma quantidade escalar φ = φ(x, t), onde t é o tempo e x é a posição. Aqui φ pode ser alguma variável física, como temperatura ou concentração química. A quantidade física, cuja quantidade escalar é φ, existe em um contínuo, e cuja velocidade macroscópica é representada pelo campo vetorial u(x, t).

A derivada (total) em relação ao tempo de φ é expandida usando a regra da cadeia:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi (𝐱,t)=\frac{\partial \phi }{\partial t}+\dot{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }\phi .\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

É evidente que esta derivada é dependente do vetor:

$\dot{𝐱}\equiv \frac{\mathrm{d}𝐱}{\mathrm{d}t},$

que descreve um caminho escolhido x(t) no espaço. Por exemplo, se $\dot{𝐱}=\mathrm{𝟎}$ é escolhida, a derivada do tempo torna-se igual à derivada do tempo parcial, o que concorda com a definição de uma derivada parcial: uma derivada tomada em relação a alguma variável (tempo neste caso) mantendo constantes outras variáveis (espaço neste caso). Isto faz sentido porque $\dot{𝐱}=\mathrm{𝟎}$, então a derivada é tomada em alguma posição constante. Esta derivada da posição estática é chamada de derivada Euleriana.

Um exemplo deste caso é um nadador parado e sentindo a mudança de temperatura em um lago no início da manhã: a água se torna gradualmente mais quente devido ao aquecimento do sol. Neste caso, o termo $\frac{\partial \phi }{\partial t}$ é suficiente para descrever a taxa de mudança de temperatura.

Se o sol não está aquecendo a água, mas o caminho x(t) não é uma paralisação, o tempo derivado do φ pode mudar devido ao caminho. Por exemplo, imagine que o nadador esteja em uma piscina de água sem movimento, dentro de casa e sem ser afetado pelo sol. Acontece que uma extremidade está a uma temperatura alta constante e a outra extremidade está a uma temperatura baixa constante. Ao nadar de uma extremidade para a outra, o nadador sente uma mudança de temperatura em relação ao tempo, mesmo que a temperatura em qualquer ponto (estática) seja uma constante. Isto ocorre porque a derivada é tomada no local de mudança do nadador e o segundo termo à direita $\dot{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }\phi$ é suficiente para descrever a taxa de mudança de temperatura. Um sensor de temperatura acoplado ao nadador mostraria a temperatura variando com o tempo, simplesmente devido à variação de temperatura de uma extremidade da piscina para a outra.

O material derivado finalmente é obtido quando o caminho x(t) é escolhido para ter uma velocidade igual à velocidade do fluido $\dot{𝐱}=𝐮.$

Ou seja, o caminho segue a corrente do fluido descrita pelo campo de velocidade do fluido u. Assim, o material derivado do escalar φ é$\frac{\mathrm{D}\phi }{\mathrm{D}t}=\frac{\partial \phi }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }\phi .$

Um exemplo deste caso é uma partícula leve, neutralmente flutuante, varrida ao longo de um rio que flui e que sofre mudanças de temperatura ao fazê-lo. A temperatura da água localmente pode estar aumentando devido a uma parte do rio estar ensolarada e a outra na sombra, ou a água como um todo pode estar aquecendo à medida que o dia avança. As mudanças devidas ao movimento da partícula (ela mesma causada pelo movimento do fluido) é chamada de advecção (ou convecção se um vetor estiver sendo transportado).

A definição acima se baseou na natureza física de uma corrente de fluido; entretanto, nenhuma lei da física foi invocada (por exemplo, foi assumido que uma partícula leve em um rio seguirá a velocidade da água), mas acontece que muitos conceitos físicos podem ser descritos concisamente usando a derivada material. O caso geral de advecção, entretanto, depende da conservação da massa do fluxo do fluido; a situação torna-se ligeiramente diferente se a advecção ocorrer em um meio não conservador.

Apenas um caminho foi considerado para o escalar acima. Para um vetor, o gradiente se torna uma derivada tensora; para campos tensoriais podemos querer levar em conta não apenas a tradução do sistema de coordenadas devido ao movimento do fluido, mas também sua rotação e alongamento.

Coordenadas Ortogonais

Pode ser demonstrado que, em coordenadas ortogonais, o j-ésimo componente do termo de convecção do material derivado é dado por :

$[𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐀{]}_j=\sum _i\frac{u_i}{h_i}\frac{\partial A_j}{\partial q^i}+\frac{A_i}{h_i{h}_j}(u_j\frac{\partial h_j}{\partial q^i}-u_i\frac{\partial h_i}{\partial q^j}),$

onde os $h_i$ estão relacionados com os tensores métricos por:

$h_i=\sqrt{g_{ii}}.$

No caso especial de um sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), isto é apenas:

$𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐀=\left(\begin{array}{c}{u}_x\frac{\partial A_x}{\partial x}+u_y\frac{\partial A_x}{\partial y}+u_z\frac{\partial A_x}{\partial z}\\ u_x\frac{\partial A_y}{\partial x}+u_y\frac{\partial A_y}{\partial y}+u_z\frac{\partial A_y}{\partial z}\\ u_x\frac{\partial A_z}{\partial x}+u_y\frac{\partial A_z}{\partial y}+u_z\frac{\partial A_z}{\partial z}\end{array}\right).$

Ver também

• Equações de Navier-Stokes
• Equações de Euler (fluidos)