Soma de Riemann

Na matemática, a soma de Riemann é uma aproximação obtida pela expressão $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) \cdot Δ x$ .

É nomeada em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann. Uma aplicação muito comum é a aproximação da área de funções ou linhas em um gráfico, mas também o comprimento das curvas e outras aproximações.

A soma é dada pela divisão da região a ser calculada em formas (retângulos, trapézios, parábolas ou cubos) que juntos formam uma região que é similar àquela a ser medida, então calcula-se a área de cada uma das formas, e finalmente soma-se todas essas áreas menores juntas. Essa abordagem pode ser usada para encontrar uma aproximação numérica para a integral definida mesmo se o teorema fundamental do cálculo não ajudar a encontrar uma forma fechada.

Tendo em vista que a região preenchida pelas formas menores geralmente não corresponde a exata forma da região a ser medida, a Soma de Riemann será diferente desta. Esse erro pode ser reduzido se a região for mais dividida, usando formas cada vez menores. Ao passo que as formas ficam menores, a soma se aproxima a Integral de Riemann.

Normalmente a Soma de Riemann tem uma aplicação ótima para funções polinomiais ou algébricas, o que significa que é possível precisar o valor exato do limite da soma com facilidade. Porém, para funções ditas transcendentes o cálculo da integral definida é não trivial por Riemann, ocorrendo ele comumente pela formação de retângulos de forma análoga ao método da exaustão.

Definição

Considere f:D → R sendo uma função definida do subconjunto D, de números reais, R. Tome I = [a, b] como um intervalo fechado contido em D, e

$P = [x_{0}, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], . . ., [x_{n - 1}, x_{n}],$

sendo uma partição de I, onde

$a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < . . . < x_{n} = b .$

Uma soma de Riemann de f sobre I com a partição P é definida como

$S = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}), x_{i - 1} \leq x_{i}^{*} \leq x_{i} .$

Atenção no uso de “uma” ao invés de “a” em referência a soma de Riemann. Isso ocorre pelo fato que a escolha de $x_{i}^{*}$ no intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}]$ é arbitrária, dado o fato que qualquer função f definida em um intervalo I e na partição fixada P, pode produzir uma soma de Riemann diferente em decorrência de qual $x_{i}^{*}$ foi escolhido, desde que $x_{i - 1} \leq x_{i}^{*} \leq x_{i}$ se mantenha verdadeiro.

Exemplo: Escolhas específicas de $x_{i}^{*}$ nos dão diferentes tipos de soma de Riemann:

Se $x_{i}^{*} = x_{i - 1}$ para todo i, então S é chamado de Soma de Riemann à Esquerda;
Se $x_{i}^{*} = x_{i}$ para todo i, então S é chamado de Soma de Riemann à Direita;
Se $x_{i}^{*} = \frac{1}{2} (x_{i} + x_{i - 1})$ para todo i, então é S é chamado de Soma de Riemann Média.
A média entre a Soma à Esquerda e a Soma à Direita é chamada de Soma Trapezoidal.
Se é dado que $S = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} (x_{i} - x_{i - 1}),$ onde $v_{i}$ é o supremo de f sobre $[x_{i - 1}, x_{i}]$ , então S é definido como uma Soma de Riemann Superior;
De forma semelhante, se $v_{i}$ é o ínfimo de f sobre $[x_{i - 1}, x_{i}]$ , então S é definido como uma Soma de Riemann Inferior.

Qualquer soma de Riemann em dada partição (isto é, qualquer soma obtida pela escolha de $x_{i}^{*}$ entre $x_{i - 1}$ e $x_{i}$ ) está entre as somas de Riemann superior e a inferior. Uma função é definida como integrável por Riemann se a soma inferior e superior forem se aproximando conforme a partição se afina. Este fato pode ser também usado para a integração numérica.

Método

Os quatro métodos de Riemann para a soma são geralmente melhor usados com partições de tamanhos equivalentes. O intervalo [a, b] é, portanto, dividido em n subintervalos, de comprimento

$Δ x = \frac{b - a}{n} .$ Os pontos na partição serão então $a, a + Δ x, a + 2 Δ x, . . ., a + (n - 2) Δ x, a + (n - 1) Δ x, b .$

Soma de Riemann à Esquerda

Para a Soma de Riemann à Esquerda, aproxima-se a função pelo seu valor no ponto final à esquerda, dando múltiplos retângulos com base Δx e altura f(a+iΔx). Tomando para i = 0, 1, ... n-1, e adicionando as áreas resultantes temos

$Δ x [f (a) + f (a + Δ x) + f (a + 2 Δ x) + . . . + f (b - Δ x)] .$

A soma de Riemann à esquerda resulta em uma superestimação se f está monotonicamente decrescendo nesse intervalo, e em uma subestimação se f está monotonicamente crescendo.

Soma de Riemann à Direita

Nessa soma, aproxima-se f de seu valor no ponto final à direita. São gerados, então, múltiplos retângulos de base Δx e altura f(a+Δx). Tomando para i – 1 , ..., n e adicionando as áreas resultantes se produz

$Δ x [f (a + Δ x) + f (a + 2 Δ x) + . . . + f (b)] .$

A soma de Riemann à direita resulta em uma subestimação se f está monotonicamente decrescendo, e uma superestimação se f está

monotonicamente crescendo. O erro na fórmula será

$| \int_{a}^{b} f (x) d x - A_{d i r e i t a} | \leq \frac{M_{1} (b - a)^{2}}{2 n},$

onde $M_{1}$ é o valor máximo do valor absoluto de $f^{'} (x)$ nesse intervalo.

Soma Média

Aproximando f no ponto médio dos intervalos expressam f(a+Δx/2) para o primeiro intervalo, para o próximo temos f(a+3Δx/2), e assim por diante até f(b-Δx/2). Somando as áreas temos

$Δ x [f (a + \frac{Δ x}{2}) + f (a + \frac{3 Δ x}{2}) + . . . + f (b - \frac{Δ x}{2})] .$

O erro dessa formula será

$| \int_{a}^{b} f (x) d x - A_{m e d i a} | \leq \frac{M_{2} (b - a)^{3}}{24 n^{2}},$

onde $M_{2}$ é o valor máximo do valor absoluto de $f^{″} (x)$ nesse intervalo.

Regra Trapezoidal

Nesse caso, os valores da função f no intervalo são aproximados pela média dos valores nos pontos finais da direita e da esquerda. Dessa mesma maneira, um simples cálculo usando a formula da área

$A = \frac{1}{2} h (b_{1} + b_{2})$

para um trapézio de lados paralelos b₁, b₂ e altura h produz

$\frac{1}{2} Δ x [f (a) + 2 f (a + Δ x) + 2 f (a + 2 Δ x) + 2 f (a + 3 Δ x) + . . . + 2 f (b - Δ x) + f (b)] .$

O erro dessa fórmula será

$| \int_{a}^{b} f (x) d x - A_{t r a p} | \leq \frac{M_{2} (b - a)^{3}}{12 n^{2}},$

onde $M_{2}$ é o valor máximo do valor absoluto de $f^{″} (x) .$

A aproximação obtida com a regra do trapézio para a função é o mesmo que a média da somas esquerdas e direitas dessa função.

Exemplo

Tomado um exemplo, a área sob a curva de y=x² entre 0 e 2 pode ser processualmente computada usando o método de Riemann.

O intervalo [0,2] é primeiramente dividido em n subintervalos, cada um deles com comprimento de $\frac{2}{n}$ ; esse é o comprimento dos retângulos de Riemann (a seguir chamadas “caixas”). Já que será usada a soma de Riemann à direita, a sequência de coordenadas x para as caixas será $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ . Dessa forma, a sequência de alturas das caixas será $x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, . . ., x_{n}^{2}$ . É um fato importante que $x_{i} = \frac{2 i}{n}$ e $x_{n} = 2$ .

A área de cada caixa será $\frac{2}{n} \times x_{i}^{2}$ e sendo assim a soma de Riemann à direita será:

$\begin{matrix} S & = & \frac{2}{n} \times {(\frac{2}{n})}^{2} + . . . + \frac{2}{n} \times {(\frac{2 i}{n})}^{2} + . . . + \frac{2}{n} \times {(\frac{2 n}{n})}^{2} \\ = & \frac{8}{n^{3}} (1 + . . . + i^{2} + . . . n^{2}) \\ = & \frac{8}{n^{3}} (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}) \\ = & \frac{8}{n^{3}} (\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6}) \\ = & \frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{4}{3 n^{2}} \end{matrix}$

Se o limite é visualizado como n → ∞, pode-se concluir que a aproximação alcança o valor real da área sob a curva ao passo que o número de caixas aumenta.

Consequentemente:

$\lim_{n \to \infty} S = \lim_{n \to \infty} (\frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{4}{3 n^{2}}) = \frac{8}{3}$ .