Equação de convecção-difusão

A equação de convecção-difusão é uma equação parabólica em derivadas parciais, a qual descreve o fenômeno físico onde partículas ou energia (ou outras grandezas físicas) são transferidas dentro de um sistema devido a dois processos: difusão e convecção. Nesta forma mais simples (quando o coeficiente de difusão e a velocidade de convecção são constantes e não há fontes ou fugas) a equação toma a forma:

$\frac{\partial c}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^{2}c-\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }c.$

Os dois termos no lado direito representam processos físicos diferentes: o primeiro corresponde a difusão normal enquanto o segundo descreve convecção ou advecção – o qual é o motivo pelo qual a equação é também conhecida como a equação de advecção-difusão. Além disso c é a variável de interesse, a constante D é o coeficiente de difusão, e $\overrightarrow{v}$ é a velocidade.

Equação de convecção-difusão com coeficientes constantes

Quando $𝐯\in {ℝ}^n$ é constante, podemos encontrar uma solução clássica para a equação do transporte. Uma forma de obtermos uma tal solução é impondo uma condição inicial.

Problema de valor inicial

Consideremos, primeiro, o caso homogêneo, isto é, $f\equiv 0$. Definindo uma condição inicial para $\mathrm{\Phi }$ temos o seguinte problema de valor inicial:

$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=0$

$\mathrm{\Phi }(x,0)=g$

onde, $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(x,t)$ com $x\in {ℝ}^n$ e $t\in [0,\mathrm{\infty })$. Além disso, assumimos que $g\in C^1({ℝ}^n,ℝ)$, i.e. $g$ é uma vez continuamente diferenciável.

Com isso, podemos mostrar que a solução deste problema é:

$\mathrm{\Phi }(x,t)=g(x-t𝐯),\text{para todo }(x,t)\in {ℝ}^n\times [0,\mathrm{\infty })$.

Com feito, esta solução satisfaz a condição inicial e, além disso, substituindo $\mathrm{\Phi }$ na equação do transporte homogênea vemos que:

$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=-𝐯\cdot \mathrm{\nabla }g(x-t𝐯)+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }g(x-t𝐯)=0$.

Ou seja, $\mathrm{\Phi }$ definida acima é de fato solução do problema.

Caso não-homogêneo

Aqui, encontramos uma solução clássica para o seguinte problema de valor inicial:

$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=f$

$\mathrm{\Phi }(x,0)=g$

onde, $\mathrm{\Phi }$ e $g$ estão definidas como acima e $f\in C^0({ℝ}^n\times (0,\mathrm{\infty }),ℝ)$.

Para buscarmos uma solução para este problema, definimos:

$z(s)=\mathrm{\Phi }(x+s𝐯,t+s)$

o que nos dá:

$\frac{d}{ds}z(s)=f(x+s𝐯,t+s)$.

Logo:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x+(s-t)𝐯,s)ds=\underset{-t}{\overset{0}{\int }}f(x+s𝐯,t+s)ds=z(0)-z(-t)=\mathrm{\Phi }(x,t)-g(x-t𝐯)$.

Portanto:

$\mathrm{\Phi }(x,t)=g(x-t𝐯)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x+(s-t)𝐯,s)ds,\text{para todo }(x,t)\in {ℝ}^n\times [0,\mathrm{\infty })$

é solução clássica do problema dado.

Derivação

A equação de convecção-difusão pode ser derivada em uma forma simplificada da equação de continuidade, a qual estabelece que a taxa de alteração para uma grandeza escalar em um volume de controle diferencial é dado por fluxo e difusão dentro e fora da parte do sistema, juntamente com toda a geração ou o consumo dentro do volume de controle:

$\frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{j}=s,$

onde $\overrightarrow{j}$ é o fluxo total e s é uma fonte volumétrica líquida (resultado de balanço) para c. Na ausência de fluxo físico, este fluxo pode ser descrito através da fenomenológica primeira lei de Fick, a qual assume que o fluxo de material em difusão em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente local. Quando há convecção ou fluxo, o fluxo total é dado pela soma do fluxo difusivo e que é conhecido como o fluxo convectivo $\overrightarrow{v}c$.

Combinando-se estes dois termos o fluxo total torna-se:

$\overrightarrow{j}=-D\mathrm{\nabla }c+\overrightarrow{v}c.$

A substituição desta equação na equação de continuidade dá a forma geral da equação de convecção–difusão:

$\frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\overrightarrow{-D\mathrm{\nabla }c+\overrightarrow{v}c}\right)=s.$

Referências

• Granville Sewell, The Numerical Solution of Ordinary and Partial Differential Equations, Academic Press (1988). ISBN 0-12-637475-9
• Armando de Oliveira Fortuna; TECNICAS COMPUTACIONAIS PARA DINAMICA DOS FLUIDOS: CONCEITOS BÁSICOS E APLICAÇÕES; EdUSP, 2000 - 426 páginas

Ver também

• Equação de difusão
• Equação Nernst–Planck