Transformada de Laplace bilateral

Predefinição:Sem notas Em matemática, a transformada de Laplace bilateral é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, a transformada de Mellin e a transformada de Laplace. Se ƒ(t) é uma função de uma variável real t definida para todos os números reais, a transformada de Laplace bilateral é definida pela integral

$ℬ\{f(t)\}=F(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Essa integral é frequentemente uma integral imprópria, que converge se e somente se cada uma das integrais

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt,\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

existir. Alguns autores usam a notação alternativa

$𝒯\{f(t)\}=sℬ\left\{f\right\}=sF(s)=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Em aplicações de física e engenharia, a função original geralmente tem como variável independente o tempo (t), e $f(t)$ representa um sinal que varia no tempo. A função transformada tem como variável independente a frequência real (ω) ou a frequência complexa (s), e $F(s)$ ou $F($ω$)$ são os componentes desse sinal em cada frequência.

Em aplicações de estatística, a função original geralmente é a densidade de probabilidade de uma distribuição, e a função transformada, os momentos dessa distribuição.

Relação com outras transformadas integrais

Sendo u(t) a função degrau de Heaviside, que é igual a zero quando t é menor que zero, $1/2$ quando t é igual a zero, e 1 quando t é maior que zero, a transformada de Laplace $ℒ$ pode ser definida a partir da transformada de Laplace bilateral por

$ℒ\{f(t)\}=ℬ\{f(t)u(t)\}.$

Por outro lado, também temos que

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℒf(t)\}(s)+\{ℒf(-t)\}(-s)$

Assim, cada uma das versões da transformada de Laplace pode ser definida a partir da outra.

A transformada de Mellin pode ser definida em termos da transformada de Laplace bilateral por

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)$

e, inversamente, pode-se obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Mellin por meio da expressão

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s).$

A transformada de Fourier também pode ser definida a partir da transformada de Laplace bilateral, por meio da expressão

$ℱ\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).$

Note-se que existem definições alternativas da transformada de Fourier. Em particular, a forma

$\left\{ℱf\right\}=F(s=i\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left\{ℬf\right\}(s)$

é frequentemente usada.

Também é possível obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Fourier, através da expressão

$\left\{ℬf\right\}(s)=\left\{ℱf\right\}(-is).$

Note-se que transformada de Fourier é normalmente definida de forma a existir para valores reais. A definição acima define $F(s)$ em uma faixa $a<\mathrm{\Im }(s)<b$ que pode não incluir o eixo real.

Propriedades

Para quaisquer duas funções $f,g$ para as quais a transformada bilateral de Laplace $𝒯\{f\},𝒯\{g\}$ existam, se $𝒯\{f\}=𝒯\{g\}$ e $𝒯\{f\}(t)=𝒯\{g\}(t)$para todo valor de $t\in ℝ,$ $f=g$ quase sempre.

Propriedades da transformada unilateral de Laplace

	Dominio de tempo	Domínio unilateral-'s'	Domínio bilateral-'s'
Derivada	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0)$	$sF(s)$
Derivada de segunda ordem	$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$	$s^{2}F(s)$

Região de convergência

Os requisitos para convergência da transformada bilateral são mais difíceis do que para transformações unilaterais. A região de convergência normalmente será menor.

Se f é uma função localmente integrável (ou mais geralmente uma medida local de Borel de variação limitada), então a transformada de Laplace F(s) de f converge desde que o limite

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{R}{\int }}f(t)e^{-st}dt$

exista. A transformada de Laplace converge absolutamente se a integral

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(t)e^{-st}|dt$

existe (como uma integral de Labesgue adequada). A transformada de Laplace é geralmente entendida como condicionalmente convergente.

O conjunto de valores para os quais F(s) converge absolutamente é da forma Re(s) > a ou Re(s) ≥ a, onde ''a'' é uma constante real estendida, −∞ ≤ a ≤ ∞. (Isso segue do teorema da convergência dominada.) A constante ''a'' é conhecida como a abcissa da convergência absoluta e depende do comportamento de crescimento de f(t). Analogamente, a transformada bilateral converge absolutamente em uma faixa da forma a < Re(s) < b, e possivelmente incluindo as linhas Re(s) = a ou Re(s) = b. O subconjunto de valores de s para os quais a transformada de Laplace converge absolutamente é chamado de região de convergência absoluta ou domínio de convergência absoluta. No caso bilateral, às vezes é chamada de faixa de convergência absoluta. A transformada de Laplace é analítica na região de convergência absoluta.

Da mesma forma, o conjunto de valores para os quais F(s) converge (condicionalmente ou absolutamente) é conhecido como região de convergência condicional, ou simplesmente região de convergência. Se a transformada de Laplace converge (condicionalmente) em $s=s_0$, então ela converge automaticamente para todos os s com Re(s) > Re ($s_0$). Portanto, a região de convergência é um meio plano da forma Re(s) > a, possivelmente incluindo alguns pontos da linha limite Re(s) = a. Na região de convergência Re(s) > Re($s_0$), a transformada de Laplace de f pode ser expressa por integração por partes como a integral

$F(s)=(s-s_0)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(s-s_0)t}\beta (t)dt$, $\beta (u)=\underset{0}{\overset{u}{\int }}{e}^{-s_{0}t}f(t)dt$.

Ou seja, na região de convergência F(s) pode ser efetivamente expressa como a transformada de Laplace absolutamente convergente de alguma outra função. Em particular, é analítica.

Existem vários teoremas de Paley-Wiener relativos à relação entre as propriedades de decaimento de f e as propriedades da transformada de Laplace na região de convergência.

Em aplicações de engenharia, uma função correspondente a um sistema linear invariante no tempo é estável se cada entrada limitada produz uma saída limitada.

Causalidade

As transformações bilaterais não respeitam a causalidade. Elas fazem sentido quando aplicados sobre funções genéricas, mas quando se trabalha com funções de tempo (sinais), as transformações unilaterais são preferidas.

Ver também

• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier

Referências

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923.