Ponto aderente

Nota: se você tem dificuldade com os símbolos matemáticos, veja Tabela de símbolos matemáticos.

Em Matemática, ponto aderente de um conjunto X é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos $x_n\in X\subseteq ℝ$. Ou, o que é equivalente, o ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, para todo intervalo aberto I de centro a tem-se $I\cap X\ne \varnothing$ (lê-se: existe intersecção entre os conjuntos I e X).

Todo ponto $a\in X$ é aderente a X: basta tomar a sequência de pontos $x_n=a$. Mas pode-se ter um ponto a aderente a X sem que este ponto pertença ao conjunto X.

Factos

• Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto $X:={\{1/n\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X.
• um fecho do conjunto X é o conjunto $\bar{X}$ formado pelos pontos aderentes a X.
• Dados dois conjuntos X e Y quaisquer, $X\subseteq Y\Rightarrow \bar{X}\subseteq \bar{Y}$ (lê-se: se X está contido em Y, então o fecho do conjunto X está contido no fecho do conjunto Y). Note-se que um conjunto pode ser subconjunto próprio de outro, mas seus fechos serem idênticos: $(0,1)\subset [0,1)$, mas $\overline{(0,1)}=\overline{[0,1)}=[0,1]$
• um conjunto $X\subseteq ℝ$ é fechado se, e somente se, todo ponto aderente a X pertence a X, ou seja, se $X=\bar{X}$.