Teorema de Fubini

Na análise matemática, o teorema de Fubini, em homenagem a Guido Fubini, é um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral dupla por meio de integrais iteradas. Como consequência, ele permite a inversão da ordem de integração em integrais iteradas. Seu análogo em derivadas parciais é o Teorema de Clairaut-Schwarz.

Enunciado do Teorema

Sejam A e B espaços de medida completos. Suponha f(x,y) uma função A × B mensurável. Se

$\underset{A\times B}{\int }|f(x,y)|\text{d}(x,y)<\mathrm{\infty },$

em que a integral é tomada com relação à medida produto associada ao espaço A × B, então

$\underset{A}{\int }(\underset{B}{\int }f(x,y)\text{d}y)\text{d}x=\underset{B}{\int }(\underset{A}{\int }f(x,y)\text{d}x)\text{d}y=\underset{A\times B}{\int }f(x,y)\text{d}(x,y),$

em que as duas primeiras integrais são integrais iteradas com relação a duas medidas, respectivamente, e a terceira é uma integral com relação ao produto dessas duas medidas.

A demonstração deste teorema é encontrada em livros de Análise Real.

Aplicações

O teorema de Fubini possui aplicações em inúmeras áreas das ciências exatas. Dentre as quais podemos citar:

Cálculo de integrais múltiplas

O cálculo de uma dada integral múltipla fica bastante simplicidado ao escrevermos a integral em integrais iteradas. Veja, por exemplo, o artigo Integral múltipla da Wikipédia. Além disso, vários exemplos para integrais duplas e triplas podem ser encontrados em livros de Cálculo.

Integral gaussiana

Uma das aplicações do teorema de Fubini é na resolução da integral gaussiana que é a base para grande parte da teoria de probabilidades:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}\text{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{a}}.$

No artigo sobre integrais gaussianas pode-se ver como o teorema de Fubini pode ser usado para provar isso.