Regra geral de Leibniz

Predefinição:Má tradução Em cálculo, a regra geral de Leibniz, nomeada depois por Gottfried Wilhelm Leibniz, generaliza a regra do produto. Afirma que se f e g são funções diferenciáveis n-vezes, então a n-ésima derivada do produto fg é dada por

$(f\cdot g{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$,

onde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ é Coeficiente binomial.

Isto pode ser provado usando a regra do produto e a indução matemática.

Com a notação Índice múltiplo as regras dizem de forma mais geral:

${\partial }^{\alpha }(fg)=\sum _{\{\beta :\beta \le \alpha \}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })({\partial }^{\alpha -\beta }f)({\partial }^{\beta }g).$

Esta fórmula pode ser usada para derivar uma fórmula que calcula o símbolo da composição de operadores diferenciais. Na verdade, caso P e Q sejam operadores diferenciais (com coeficientes que são suficientemente diferenciáveis muitas vezes) e $R=P\circ Q$. Visto que "R" também é um operador diferencial, o símbolo de "R" é dado por:

$R(x,\xi )=e^{-⟨x,\xi ⟩}R(e^{⟨x,\xi ⟩}).$

Um cálculo direto agora nos dá:

$R(x,\xi )=\sum _{\alpha }\frac{1}{\alpha !}{\left(\frac{\partial }{\partial \xi }\right)}^{\alpha }P(x,\xi ){\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{\alpha }Q(x,\xi ).$

Esta fórmula é conhecida como a de Leibniz. É utilizada para definir a composição, no espaço de símbolos, induzindo a estrutura do anel.

Ver também

• Derivation (abstract algebra)
• Álgebra diferencial
• Regra do produto
• Derivada

Ligações externas

• Planet Math