Representação Adjunta (álgebra de Lie)

Em matemática, o endomorfismo adjunto (ou ação adjunta} é um homomorfismo das álgebras de Lie que desempenha um papel fundamental no desenvolvimento da teoria das álgebras de Lie.

Dado um elemento $x$ de uma álgebra de Lie $𝔤$, define-se a ação adjunta de $x$ em $𝔤$ como o mapa ${\mathrm{ad}}_x:𝔤\to 𝔤$ com

${\mathrm{ad}}_x(y)=[x,y]$

para todo $y$ em $𝔤$.

Representação adjunta da álgebra

O conceito gera a representação adjunta de um grupo de Lie $\mathrm{Ad}$. Na verdade, $\mathrm{ad}$ é precisamente o diferencial de $\mathrm{Ad}$ no elemento identidade do grupo.

Seja $𝔤$ uma álgebra de Lie sobre um campo de $k$. Então o mapa linear

$\mathrm{ad}:𝔤\to \mathrm{End}(𝔤)$

dado por $x\mapsto {\mathrm{ad}}_x$ é uma representação de uma álgebra de Lie e é chamada de representação adjunta da álgebra.

Dentro $\mathrm{End}(𝔤)$, o colchete de Lie é, por definição, dado pelo comutador de dois operadores:

$[{\mathrm{ad}}_x,{\mathrm{ad}}_y]={\mathrm{ad}}_x\circ {\mathrm{ad}}_y-{\mathrm{ad}}_y\circ {\mathrm{ad}}_x$

onde $\circ$ denota a composição de mapas lineares. Se $𝔤$ é de dimensão finita, então $\mathrm{End}(𝔤)$ é isomorfo a $𝔤𝔩(𝔤)$, a álgebra de Lie do grupo linear geral sobre o espaço vetorial $𝔤$ e se uma base para ele é escolhido, a composição corresponde ao produto de matrizes.

Usando a definição acima do colchete de Lie, a identidade de Jacobi Predefinição:Nota de rodapé

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$

assume a forma

$([{\mathrm{ad}}_x,{\mathrm{ad}}_y])(z)=\left({\mathrm{ad}}_{[x,y]}\right)(z)$

onde $x$, $y$, e $z$ são elementos arbitrários de $𝔤$.

Constantes de estrutura

Os elementos explícitos da matriz da representação adjunta são dados pelas constantes de estrutura da álgebra. Ou seja, deixe {eⁱ} ser um conjunto de vetores de base para a álgebra, com

$[e^i,e^j]=\sum _k{c^{ij}}_k{e}^k.$

Então os elementos da matriz para ${\mathrm{ad}}_{e^i}$ são dados por

${{\left[{\mathrm{ad}}_{e^i}\right]}_k}^j={c^{ij}}_k.$

Assim, por exemplo, a representação adjunta de SU(2) é o representante de definição de SO(3).