Torção de uma curva

No geometria diferencial de curvas elementar em três dimensões, a torção de uma curva mede quão agudamente é torcida para fora do plano da curvatura. Tomada em conjunto, a curvatura e a torção de uma curva espacial são análogas à curvatura de uma curva plana. Por exemplo, elas são os coeficientes do sistema de equações diferenciais para o triedro de Frenet dado pelas fórmulas de Frenet-Serret.

Definição

Animação da Torção e da rotação do vetor binormal correspondente

Definimos como uma curva no espaço a seguinte função

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(s).$

parametrizada pelo comprimento do arco $s$ e com vetor tangente unitário

$\overrightarrow{t}(s)=\overrightarrow{r}{}^{\prime }(s).$

Se a curvatura $\kappa$ da curva em um certo ponto é diferente de zero, então, neste ponto os vetores unitários, vetor normal $\overrightarrow{n}(s)$ e vetor binormal $\overrightarrow{b}(s)$ serão os seguintes:

$\overrightarrow{n}(s)=\frac{\overrightarrow{t}{}^{\prime }(s)}{|\overrightarrow{t}{}^{\prime }(s)|}=\frac{\overrightarrow{r}{}^{″}(s)}{|\overrightarrow{r}{}^{″}(s)|}.$

$\overrightarrow{b}(s)=\overrightarrow{t}(s)\times \overrightarrow{n}(s)$

A torção $\tau$ mede a velocidade de rotação do vetor binormal no ponto escolhido. Ela pode ser encontrada de acordo com a seguinte equação

$\tau (s)=-\overrightarrow{b}{}^{\prime }(s)\cdot \overrightarrow{n}(s).$

Significado geométrico: A torção $\tau (s)$ mede a velocidade do vetor binormal. Quanto maior for, mais rápido o vetor binormal gira em torno do eixo dado pelo vetor tangente. Podemos visualizar o seu significado na ilustração gráfica presente neste artigo, na qual o vetor tangente está representado na cor marrom, o vetor normal, em verde, e o vetor binormal, em azul. No gráfico, o valor da torção é representado pela cor azul, e, em verde, o valor da curvatura.

Definição Alternativa

Definimos r = r(t) como uma equação paramétrica de uma curva no espaço. Assumimos que a parametrização é regural e que a curvatura não desapareça. Se r(t) é uma função diferenciável três vezes em relação a t com valores no espaço R³, e os vetores

${𝐫}^{\prime }(t),{𝐫}^{″}(t)$

são linearmente independentes, então, a torção pode ser calculada com a seguinte formula:

$\tau =\frac{\det \left(r^{\prime },r^{″},r^{‴}\right)}{{\Vert r^{\prime }\times r^{″}\Vert }^2}=\frac{\left(r^{\prime }\times r^{″}\right)\cdot r^{‴}}{{\Vert r^{\prime }\times r^{″}\Vert }^2}.$

na qual as derivadas são em respeito a t e o símbolo de multiplicação $\times$ representa o produto vetorial.