Isomorfismo musical

Em matemática, o isomorfismo musical (ou isomorfismo canônico) é um isomorfismo entre o fibrado tangente Predefinição:Math e o fibrado cotangente Predefinição:Math e uma variedade de Riemann dada por sua métrica. Existem isomorfismos similares em variedades simpléticas. O termo musical refere-se ao uso dos símbolos $\mathrm{♭}$ e $\mathrm{♯}$.

Introdução

Uma métrica g em uma variedade Riemanniana M é um campo tensorial $g\in {𝒯}_2(M)$ que é simétrico, não degenerado e positivo-definido. Ao fixar-se um dos dois parâmetros como um vetor $v_p\in T_{p}M$, se obtém um isomorfismo de espaços vectoriais:

${\hat{g}}_p:T_{p}M⟶T_p^{*}M$

definido por:

${\hat{g}}_p(v_p)=g(v_p,-)$

ou seja,

$⟨{\hat{g}}_p(v_p),{\omega }_p⟩=g_p(v_p,{\omega }_p)$

Globalmente,

$\hat{g}:TM⟶T^{*}M$

é um difeomorfismo.

Detalhes da motivação para o nome

O isomorfismo $\hat{g}$ e seu inverso ${\hat{g}}^{-1}$ se denominam isomorfismos musicais porque sobem a baixam os índices dos vetores. Por exemplo, um vetor de TM é escrito como ${\alpha }^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ e um covetor como ${\alpha }_{i}d{x}^i$, assim que o índice i sobe e baixa em $\alpha$ do mesmo modo que os símbolos sustenido ($\mathrm{♯}$) e bemol ($\mathrm{♭}$) sobem e baixam um semitom.

Gradiente

Os isomorfismos musicais podem ser usados para definir o gradiente de uma função diferenciável sobre uma variedade riemanniana M como:

$\mathrm{\nabla }f=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f={\hat{g}}^{-1}\circ df=(df{)}^{\mathrm{♯}}$

Ver também

• Elevação e abaixamento de índices em tensores