Teorema de Lindelöf

Predefinição:Sem notas Na matemática, o teorema de Lindelöf é um resultado da análise complexa, do matemático finlandês Ernst Leonard Lindelöf. Onde ele afirma que uma função holomorfa na meia-tira, no plano complexo que é delimitada no limite da fita, e não cresce "muito rápido" na direção ilimitada, deve permanecer limitada em toda a fita. O resultado é útil no estudo da função zeta de Riemann, e é um caso especial do Princípio de Phragmén–Lindelöf.

Demonstração do teorema

Deixe Ω ser um meia-tira no plano complexo:

$\mathrm{\Omega }=\{z\in ℂ|x_1\le \mathrm{R}\mathrm{e}(z)\le x_2\text{ and }\mathrm{I}\mathrm{m}(z)\ge y_0\}⊊ℂ.$

Suponha que ƒ seja uma  função holomorfa (i.e. analítico) em Ω e que existem constantes M, A e B tais que

$|f(z)|\le M\text{ for all }z\in \partial \mathrm{\Omega }$

e

$\frac{|f(x+iy)|}{y^A}\le B\text{ for all }x+iy\in \mathrm{\Omega }.$

Então f é limitada por M em todos Ω:

$|f(z)|\le M\text{ for all }z\in \mathrm{\Omega }.$

Prova

Fixar um ponto $\xi =\sigma +i\tau$ no interior de $\mathrm{\Omega }$. Escolha $\lambda >-y_0$, um número inteiro $N>A$ e $y_1>\tau$ grande o suficiente tal que $\frac{B{y}_1^A}{(y_1+\lambda {)}^N}\le \frac{M}{(y_0+\lambda {)}^N}$. Aplicando o princípio do módulo máximo para a função $g(z)=\frac{f(z)}{(z+i\lambda {)}^N}$ e a área retangular que $\{z\in ℂ|x_1\le \mathrm{R}\mathrm{e}(z)\le x_2\text{ and }{y}_0\le \mathrm{I}\mathrm{m}(z)\le y_1\}$ onde podemos obter $|g(\xi )|\le \frac{M}{(y_0+\lambda {)}^N}$, isto é, $|f(\xi )|\le M{\left(\frac{|\xi +\lambda |}{y_0+\lambda }\right)}^N$. Deixando $\lambda \to +\mathrm{\infty }$ rendimentos $|f(\xi )|\le M$ conforme necessário.

Referências

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