Sistema de Lotka-Volterra Fracionário

O sistema de Lotka-Volterra, desenvolvido na década de 1920, constitui-se de duas equações diferenciais que de modo geral descrevem a interação entre duas populações, geralmente, uma população de presas e outra de predadores. Esse sistema em sua forma básica pressupõe que existe alimento em abundância para as presas e que os predadores são extintos na ausência destas. Esta simplicidade provoca restrições ao modelo, por isso, na tentativa de torná-lo mais realístico alterações podem ser realizadas, sendo comum sua adaptação ao modelo Logístico, e o uso do cálculo fracionário, mas existem diversas outras modificações possíveis.

O modelo de Lotka-Volterra fracionário visa atenuar algumas limitações do modelo básico, como crescimento exponencial das presas na ausência do predador, a extinção de predadores na ausência das presas, falta de complexidade ambiental como a movimentação aleatória de ambas as populações em um meio homogêneo, entre outros.

História

As equações de Lotka-Volterra foram desenvolvidas de modo independente, pelo biofísico Alfred J. Lotka (1880-1949) e pelo matemático Vito Volterra (1860-1940). Dada a forma do surgimento das equações, o modelo foi chamado de Lotka-Volterra. O desenvolvimento das equações por parte de Volterra se deu a partir de estudos acerca da interação entre certas populações de peixes no mar adriático, quanto a Lotka, este analisava a dinâmica de drosófilas. O primeiro livro sobre biologia matemática, Elements of Mathematical Biology, tem autoria deste último.

O cálculo fracionário, ou de ordem arbitrária, originou-se no século XVII, a partir de uma pergunta formulada numa troca de correspondências entre Leibniz e L'Hôpital. Numa destas correspondências, Leibniz o questiona sobre a generalização da derivada de ordem inteira para uma ordem a princípio, arbitrária, ao que L'Hopital lhe devolve a pergunta com pedido de esclarecimento sobre qual seria sua interpretação de uma derivada de ordem $1/2$ na notação de Leibniz, $d^{1/2}y/d{x}^{1/2}$. Desde então, muitos matemáticos e pesquisadores, tem contribuído para este campo, sendo que atualmente suas aplicações adentram campos do conhecimento como Matemática, Física, Química, Biologia entre outras áreas.

Resumo do sistema de Lotka-Volterra clássico

Sejam $a,b,c$ e $d$ constantes positivas. Considere por simplicidade que, $x=x(t)$ denota a população de presas e $y=y(t)$ a população de predadores no tempo $t$, nestas condições é dado o seguinte par de equações

$\frac{dx}{dt}=x(a-yb)$

$\frac{dy}{dt}=-y(c-xd)$

Este sistema tem duas soluções de equilíbrios, $P(0,0)$ e $Q(c/d,a/b)$. Com o uso da Regra da Cadeia pode-se unificar este sistema numa única equação diferencial, obtendo-se

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\frac{c-xd}{a-yb},$

cuja solução geral é dada por

$f(x,y)\equiv c\ln x-xd+a\ln y-by=K,$

na qual $K$ é a constante de integração e as trajetórias definidas pelo sistema são as curvas de níveis da função $f(x,y).$

Sistema de Lotka-Volterra fracionário

Com o objetivo de amenizar certas restrições inerentes ao modelo clássico de Lotka-Volterra, apresenta-se a generalização fracionária do sistema, isto é,

$D_t^{\alpha }x(t)\equiv \frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}x(t)=ax(t)-bx(t)y(t)$

$D_t^{\beta }y(t)\equiv \frac{{\partial }^{\beta }}{\partial t^{\beta }}y(t)=-cy(t)+dx(t)y(t)$

Na qual 0 < $\alpha ,\beta$ ≤ 1, $a,b,c$ e $d$ são constantes positivas e as derivadas fracionárias são tomadas no sentido de Caputo. Assim como no modelo clássico, $x$ e $y$ representam, respectivamente, as populações de presas e predadores, ambas no instante $t$. O fato das ordens $\alpha$ e $\beta$ poderem ser distintas ameniza a falta de complexidade ambiental no modelo, tornando-o mais realístico, assim como os valores de $\alpha$ e $\beta$, e das constantes $a,b,c$ e $d$ serem determinadas experimentalmente.

A dimensão efetiva do sistema, $D$, é dada pela soma das ordens da equação, isto é, $D=\alpha +\beta .$

Curva obtida a partir da solução com $\alpha =1$ e $\beta =1$.

Curva obtida a partir da solução com $\alpha =0.9$ e $\beta =0.9$.

Curva obtida a partir da solução com $\alpha =0.8$ e $\beta =0.8$.

Curva obtida a partir da solução com $\alpha =0.7$ e $\beta =0.7$.

Curva obtida a partir da solução com $\alpha =1$ e $\beta =0.9$.

Curva obtida a partir da solução com $\alpha =1$ e $\beta =0.8$.

Curva obtida a partir da solução com $\alpha =0.9$ e $\beta =1$.

Curva obtida a partir da solução com $\alpha =0.8$ e $\beta =1$.

A fim de analisar as soluções para o sistema fracionário, assim como no caso clássico, pode-se introduzir as variáveis $u(t)$ e $v(t)$, de modo que

$x(t)=u(t)+\frac{c}{d}$ e $y(t)=v(t)+\frac{a}{b}.$

Fazendo uso da derivada fracionária no sentido de Caputo, com as devidas substituições de variáveis e simplificações tem-se,

$D_t^{\alpha }u(t)=-\frac{bc}{d}v(t)+bu(t)v(t)$

$D_t^{\beta }v(t)=\frac{ad}{b}u(t)+dv(t)u(t)$

Do qual, o sistema linearizado correspondente, é dado por

$D_t^{\alpha }u(t)=-\frac{bc}{d}v(t)$

$D_t^{\beta }v(t)=\frac{ad}{b}u(t)$

Solução do sistema fracionário linearizado

Com o propósito de resolver o sistema fracionário linearizado aplica-se a transformada de Laplace nas duas equações, donde tem-se

$ℒ\{D_t^{\alpha }u(t)\}=-\frac{bc}{d}ℒ\{v(t)\}⟹s^{\alpha }F(s)-s^{\alpha -1}{u}_0=-\frac{bc}{d}G(s)$

$ℒ\{D_t^{\beta }v(t)\}=\frac{ad}{b}ℒ\{u(t)\}⟹s^{\beta }G(s)-s^{\beta -1}{v}_0=\frac{ad}{b}F(s)$

Em que, $F(s)\equiv ℒ\{u(t)\}$ e $G(s)\equiv ℒ\{v(t)\}$, e além disso, $u_0=u(0)$ e $v_0=v(0)$ denotam, respectivamente, as populações iniciais de presa e predador.

A partir deste ponto, ao isolar $F(s)$ na segunda equação e substituir sua expressão na primeira, e de modo análogo, isolar $G(s)$ na primeira equação e substituir a equação resultante na segunda, chega-se às seguintes transformadas

$F(s)=u_0\frac{s^{\alpha +\beta -1}}{s^{\alpha +\beta }+ac}-v_0\frac{bc}{d}\frac{s^{\beta -1}}{s^{\alpha +\beta }+ac}$

$G(s)=v_0\frac{s^{\alpha +\beta -1}}{s^{\alpha +\beta }+ac}+u_0\frac{ad}{b}\frac{s^{\alpha -1}}{s^{\alpha +\beta }+ac}$

Assim, tendo em vista que se busca as soluções das respectivas equações do sistema fracionário linearizado, aplica-se nestas equações a transformada de Laplace inversa, donde tem-se as seguintes soluções

$u(t)={ℒ}^{-1}\{ℒ\{u(t)\}\}={ℒ}^{-1}\{F(s)\}=u_0{E}_{\alpha +\beta }(-ac{t}^{\alpha +\beta })-v_0\frac{bc}{d}{t}^{\alpha }{E}_{\alpha +\beta ,\alpha +1}(-ac{t}^{\alpha +\beta })$

$v(t)={ℒ}^{-1}\{ℒ\{v(t)\}\}={ℒ}^{-1}\{G(s)\}=v_0{E}_{\alpha +\beta }(-ac{t}^{\alpha +\beta })-u_0\frac{ad}{b}{t}^{\beta }{E}_{\alpha +\beta ,\beta +1}(-ac{t}^{\alpha +\beta })$

nas quais $E_{\mu }(x)$ e $E_{\mu ,\nu }(x)$ denotam as funções de Mittag_Leffler de um e dois parâmetros, respectivamente.

Exemplo numérico

Modelos numéricos em geral são capazes de revelar a forma das soluções conforme se variam as ordens das derivadas. As figuras apresentadas representam as soluções do sistema na forma linearizada, sendo consideradas para as constantes os valores $a=2,b=8/5,c=2$ e $d=2/5$. Além disso, as condições iniciais escolhidas são $x(0)=1000$ e $y(0)=180$.

Para cada uma das possíveis combinações dos parâmetros $\alpha$ e $\beta$, que identificam as derivadas fracionárias de $x(t)$ e $y(t)$, tem-se uma curva correspondente, de modo que a partir destas observa-se como $\alpha$ e $\beta$ influenciam o comportamento das soluções em torno do ponto crítico, $Q(5,5/4)$, de acordo com as condições estipuladas.

Algumas análises podem feitas a partir dos gráficos, por exemplo, quando $\alpha =1$ e $\beta =1$ tem-se uma elipse centrada em $Q$, o que é normal devido as derivadas serem de ordem inteira, mas este fato também sugere ser a versão fracionária uma generalização do caso clássico. Além disso, nota-se que conforme se diminui o valor das ordens das derivadas tem se uma convergência para o ponto $Q$, e isto de modo cada vez mais acentuado.

A dimensão efetiva do sistema, $D=\alpha +\beta$, sugere certa influência no comportamento das curvas, uma vez que soluções obtidas a partir de equações com mesmo valor $D$ apresentam traços semelhantes.

Embora o sistema resolvido tenha sido linearizado, a partir das soluções apresentadas percebe-se sob certo aspecto o quanto este modelo denota um caráter mais realístico comparado à versão clássica de Lotka-Volterra, pois conforme a dimensão efetiva do sistema diminui a população das duas espécias tendem a escapar do ciclo da extinção, sendo esta uma característica real das populações devido a outros fatores não considerados.

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