Função de Mittag-Leffler

Conhecida por alguns autores como a rainha das funções inerentes ao cálculo fracionário, a função criada por Magnus Gösta Mittag-Leffler (e suas generealizações) assume o mesmo papel que a função exponencial de base e assume no cálculo usual. Ou seja, assim como a função exponencial é solução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, a função de Mittag-Leffler é solução de equações diferenciais fracionárias lineares com coeficientes constantes, por esta razão é conhecida como a rainha das funções especiais e também como a generalização "fracionária" da função exponencial.

Função de Mittag-Leffler de um parâmetro

A função definida por Mittag-Leffler em 1903, E_α(x), trata-se de uma função complexa com dependência de um parâmetro, definida da seguinte maneira :

Sejam x,α complexos, com Re(α)>0,

Função de Mittag-Leffler, E_α(x), para 0<α<1.

$E_{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+1)}.$

Como citado anteriormente, esta função é uma generalização da função exponencial. Tomando α=1, verificamos esta relação pela definição da série de Taylor.

$E_1(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}=e^x.$

Função de Mittag-Leffler, E_α(x), para α inteiro.

Casos Particulares

Apresentaremos a seguir, alguns casos particulares envolvendo a Função de Mittag-Leffler de um parâmetro.

1) $E_{\alpha }(0)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{0^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+1)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1)}+\frac{0}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}+\frac{0}{\mathrm{\Gamma }(2\alpha +1)}+...=1.$

2) $E_2(-x^2)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-x{)}^{2k}}{\mathrm{\Gamma }(2k+1)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{2k!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...=\cos (x).$

3) $E_2(x^2)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k}}{\mathrm{\Gamma }(2k+1)}=\frac{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-x{)}^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\text{cosh}(x).$

4) $E_0(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(0k+1)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(1)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k,$

uma progressão geométrica cuja soma é $\frac{1}{1-x}$, para $|x|<1$.

Função de Mittag-Leffler de dois parâmetros

Função de Mittag-Leffler, $E_{\alpha ,\beta }(-x^2)$, correspondente a função $cos(x)$ e a função $\frac{sen(x)}{x}$.

Em 1905, Wiman introduziu uma generalização da função de Mittag-Leffler de dois parâmetros. Definida de seguinte maneira,

Sejam x,α e β complexos, com Re(α)>0 e Re(β)>0,

$E_{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )}.$

Note que a função de Mittag-Leffler de dois parâmetros é uma generalização da função de Mittag-Leffler de um parâmetro, basta tomar β=1.

$E_{\alpha ,1}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+1)}=E_{\alpha }(x).$

Casos Particulares

Apresentaremos a seguir, alguns casos particulares envolvendo a Função de Mittag-Leffler de dois parâmetros.

OBS: Todos os casos particulares visto para a função de Mittag-Leffler de um parâmetro é válido para a função de Mittag-Leffler de dois parâmetros, basta tomar β=1.

1) $E_{2,1}(-x^2)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k}}{\mathrm{\Gamma }(2k+1)}=E_2(-x^2)=\cos (x).$

2) $E_{2,2}(-x^2)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-x{)}^{2k}}{\mathrm{\Gamma }(2k+2)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}=\frac{x(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!})}{x}=\frac{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}{x}=\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}.$

3) $E_{2,2}(x^2)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k}}{\mathrm{\Gamma }(2k+2)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}=\frac{x(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k}}{(2k+1)!})}{x}=\frac{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}{x}=\frac{\text{senh}(x)}{x}.$

Relação importante

Exibiremos a seguir, uma relação existente entre a função de Mittag-Leffler de um parâmetro com a função de Mittag-Leffler de dois parâmetros.

1) Seja x e α complexos, com Re(α)>0,

$E_{\alpha ,\alpha +1}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha (k+1)+1)}=\frac{1}{x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{k+1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha (k+1)+1)}=\frac{1}{x}[\frac{x}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}+\frac{x^2}{\mathrm{\Gamma }(2\alpha +1)}+\frac{x^3}{\mathrm{\Gamma }(3\alpha +1)}+...]=$

$=\frac{1}{x}[-1+(1+\frac{x}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}+\frac{x^2}{\mathrm{\Gamma }(2\alpha +1)}+\frac{x^3}{\mathrm{\Gamma }(3\alpha +1)}+...)]=\frac{1}{x}[-1+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+1)}]=\frac{1}{x}[-1+E_{\alpha }(x)].$

Logo,

$E_{\alpha ,\alpha +1}(x)=\frac{1}{x}[-1+E_{\alpha }(x)].$

2) Sejam x, α e β complexos, com Re(α)>0 e Re(β)>0,

$E_{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=-1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{k+1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha (k+1)+\beta )}=x(\frac{x^{-1}}{\mathrm{\Gamma }(\beta )}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\alpha +\beta )})=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\beta )}+x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+(\alpha +\beta ))}=x{E}_{\alpha ,\alpha +\beta }(x)+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\beta )}.$

Assim,

$E_{\alpha ,\beta }(x)=x{E}_{\alpha ,\alpha +\beta }(x)+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\beta )}.$

Com base no trabalho de Teodoro, apresentaremos a seguir as funções de Mittag-Leffler de três, quatro, cinco e seis parâmetros.

Função de Mittag-Leffler de três parâmetros

Sejam x,α, β e ρ complexos, com Re(α)>0, Re(β)>0 e Re(ρ)>0, a função de Mittag-Leffler de três parâmetros é definido pela seguinte série,

$E_{\alpha ,\beta }^{\rho }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\rho {)}_k{x}^k}{\mathrm{\Gamma }(\beta +\alpha k)k!}$

sendo (ρ)_k o símbolo de Pochhammer, definido a seguir.

Símbolo de Pochhammer

O símbolo de Pochhammer é definido como,

Para $k\in \mathbb{N}$,

$(\rho {)}_k=\rho (\rho +1)...(\rho +k-1)$.

Para $k=0$,

$(\rho {)}_0=1$.

O símbolo de Pochhammer pode ser representado em termos da função gama,

$(\rho {)}_k=\frac{\mathrm{\Gamma }(\rho +k)}{\mathrm{\Gamma }(\rho )}.$

Podemos verificar que a função de Mittag-Leffler de três parâmetros, $E_{\alpha ,\beta }^{\rho }(x)$,é uma generalização da função de Mittag-Leffler de dois parâmetros, basta tomar ρ =1,

$E_{\alpha ,\beta }^{\rho }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1{)}_k{x}^k}{\mathrm{\Gamma }(\beta +\alpha k)k!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )k!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )}=E_{\alpha ,\beta }(x).$

Função de Mittag-Leffler de quatro parâmetros

A função de Mittag-Leffler de quatro parâmetros é definido pela seguinte série,

$E_{\alpha ,\beta }^{\rho ,q}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\rho {)}_{qk}{x}^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )k!},$

com α,β e ρ complexos, e $q\in (0,1)\cup \mathbb{N}$ tais que Re(α)>0, Re(β)>0 e Re(ρ)>0 e (ρ)_qk sendo uma generalização do símbolo de Pochhammer, ou seja, $(\rho {)}_{qk}=\frac{\mathrm{\Gamma }(\rho +qk)}{\mathrm{\Gamma }(\rho )}$.

Podemos verificar que a função de Mittag-Leffler de quatro parâmetros é uma generalização da função de Mittag-Leffler de três parâmetros, basta tomar q=1,

$E_{\alpha ,\beta }^{\rho ,1}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\rho {)}_k{x}^k}{\mathrm{\Gamma }(\beta +\alpha k)k!}=E_{\alpha ,\beta }^{\rho }(x).$

Função de Mittag-Leffler de cinco parâmetros

A função de Mittag-Leffler de cinco parâmetros é definido pela seguinte série,

$E_{\alpha ,\beta ,\delta }^{\rho ,q}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k(\rho {)}_{qk}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )(\delta {)}_k},$

com α,β, ρ e δ complexos, e $q\in (0,1)\cup \mathbb{N}$ tais que Re(α)>0, Re(β)>0, Re(ρ)>0 e Re(δ)>0, (ρ)_qk sendo uma generalização do símbolo de Pochhammer e (δ)_k o símbolo de Pochhammer.

Podemos verificar que a função de Mittag-Leffler de cinco parâmetros, é uma generalização da função de Mittag-Leffler de quatro parâmetros, basta tomar δ=1,

$E_{\alpha ,\beta ,1}^{\rho ,q}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k(\rho {)}_{qk}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )(1{)}_k}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k(\rho {)}_{qk}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )k!}=E_{\alpha ,\beta }^{\rho ,q}(x).$

Função de Mittag-Leffler de seis parâmetros

A função de Mittag-Leffler de seis parâmetros é definido pela seguinte série,

$E_{\alpha ,\beta ,p}^{\rho ,\delta ,q}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k(\rho {)}_{kq}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )(\delta {)}_{kp}},$

com α,β, ρ e δ complexos, e p,q>0 tais que Re(α)>0, Re(β)>0, Re(ρ)>0, Re(δ)>0 e Re(α)+p≥q e (ρ)_kq e (δ)_kp generalizações do símbolo de Pochhammer.

Podemos verificar que a função de Mittag-Leffler de seis parâmetros, é uma generalização da função de Mittag-Leffler de cinco parâmetros, basta tomar p=1,

$E_{\alpha ,\beta ,1}^{\rho ,\delta ,q}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k(\rho {)}_{kq}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )(\delta {)}_k}=E_{\alpha ,\beta ,\delta }^{\rho ,q}(x).$

Observemos que as funções de Mittag-Leffer de n parâmetros, n≤6 é definida como generalização das funções de Mittag-Leffler de n-1, n-2,..., 1 parâmetro, consequentemente, todas as funções de Mittag-Leffler são generalizações da função exponencial.

Representações das funções de Mittag-Leffler e suas generalizações.