Matriz de Hurwitz

Predefinição:Sem notas Em matemática uma matriz de Hurwitz (Predefinição:Lang-en), ou matriz de Routh–Hurwitz, em engenharia matriz de estabilidade, é uma matriz quadrada real estruturada construída com coeficientes de um polinômio real.

Matriz de Hurwitz e critério de estabilidade de Hurwitz

Dado um polinômio real

$p(z)=a_0{z}^n+a_1{z}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_n$

a matriz quadrada $n\times n$

$H=\left(\begin{array}{ccccccccc}{a}_1& a_3& a_5& \dots & \dots & \dots & 0& 0& 0\\ a_0& a_2& a_4& & & & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& a_1& a_3& & & & ⋮& ⋮& ⋮\\ ⋮& a_0& a_2& \ddots & & & 0& ⋮& ⋮\\ ⋮& 0& a_1& & \ddots & & a_n& ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& a_0& & & \ddots & a_{n-1}& 0& ⋮\\ ⋮& ⋮& 0& & & & a_{n-2}& a_n& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& & & & a_{n-3}& a_{n-1}& 0\\ 0& 0& 0& \dots & \dots & \dots & a_{n-4}& a_{n-2}& a_n\end{array}\right).$

é denominada matriz de Hurwitz correspondente ao polinômio $p$. Adolf Hurwitz estabeleceu em 1895 que um polinômio real é estável (isto é, todas suas raízes tem parte real estritamente negativa) se e somente se todos os determinantes dos menores da matriz $H(p)$ são positivos:

$\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Delta }}_1(p)& =\left|\begin{array}{c}{a}_1\end{array}\right|& & =a_1>0\\ {\mathrm{\Delta }}_2(p)& =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ a_0& a_2\end{array}\right|& & =a_2{a}_1-a_0{a}_3>0\\ {\mathrm{\Delta }}_3(p)& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_3& a_5\\ a_0& a_2& a_4\\ 0& a_1& a_3\end{array}\right|& & =a_3{\mathrm{\Delta }}_2-a_1(a_1{a}_4-a_0{a}_5)>0\end{array}$

e assim por diante. Os menores ${\mathrm{\Delta }}_k(p)$ são denominados determinantes de Hurwitz.

Matrizes Hurwitz estáveis

Em engenharia e teoria da estabilidade, uma matriz quadrada $A$ é denominada matriz estável se todo autovalor de $A$ tem parte real estritamente negativa, isto é,

$\mathrm{R}\mathrm{e}[{\lambda }_i]<0$

para cada autovalor ${\lambda }_i$. $A$ é também denominada uma matriz estabilidade, porque então a equação diferencial ordinária

$\dot{x}=Ax$

é assintoticamente estável, isto é, $x(t)\to 0$ com $t\to \mathrm{\infty }.$

Se $G(s)$ é uma função de transferência, então $G$ é denominada Hurwitz se os polos de todos os elementos de $G$ tem parte real negativa. Notar que não é necessário que $G(s),$ para um argumento específico $s,$ seja uma matriz Hurwitz. A conexão é que se $A$ é uma matriz de Hurwitz, então o sistema dinâmico

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

tem uma função de transferência de Hurwitz.

Referências

• Predefinição:Citar periódico
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• Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
• Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), May 1970
• Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
• Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials, Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)

Ligações externas

• Predefinição:PlanetMath reference