Teorema de Prokhorov

Em teoria da medida, o teorema de Prokhorov relaciona o aperto das medidas à compacidade (e assim à convergência fraca) no espaço das medidas de probabilidade. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Yuri Prokhorov, que considerava medidas de probabilidade em espaços métricos separáveis completos. O termo "teorema de Prokhorov" é também aplicado a generalizações posteriores tanto às afirmações diretas, como inversas.

Afirmação do teorema

Considere $(S,\rho )$ um espaço métrico separável. Considere que $𝒫(S)$ denota a coleção de todas as medidas de probabilidade definidas em $S$ (com sua σ-álgebra de Borel).

O teorema de Prokhorov afirma que:

1. Uma coleção $K\subset 𝒫(S)$ de medidas de probabilidade é apertada se e apenas se o fecho de $K$ for sequencialmente compacto no espaço $𝒫(S)$ equipado com a topologia de convergência fraca;
2. O espaço $𝒫(S)$ com a topologia de convergência fraca é metrizável;
3. Suponha que, além disso, $(S,\rho )$ é um espaço métrico completo (de modo que $(S,\rho )$ é um espaço polonês). Há uma métrica completa $d_0$ em $𝒫(S)$ equivalente à topologia de convergência fraca. Ademais, $K\subset 𝒫(S)$ é apertada se e apenas se o fecho de $K$ em $(𝒫(S),d_0)$ for compacto.

Corolários

Para espaços euclidianos, temos que:

• Se $({\mu }_n)$ for uma sequência apertada em $𝒫({ℝ}^k)$ (a coleção de medidas de probabilidade em um espaço euclidiano $k$-dimensional), então, há uma subsequência $({\mu }_{n_k})$ e uma medida de probabilidade $\mu \in 𝒫({ℝ}^k)$, tal que ${\mu }_{n_k}$ converge fracamente a $\mu$.
• Se $({\mu }_n)$ for uma sequência apertada em $𝒫({ℝ}^k)$, tal que toda subsequência fracamente convergente $({\mu }_{n_k})$ tem o mesmo limite $\mu \in 𝒫({ℝ}^k)$, então, a sequência $({\mu }_n)$ converge fracamente a $\mu$.

Extensão

O teorema de Prokhorov pode ser estendido para considerar medidas complexas ou medidas sinalizadas finitas.

Suponha que $(S,\rho )$ é um espaço métrico separável completo e $\mathrm{\Pi }$ é uma família de medidas complexas de Borel em $S$. As seguintes afirmações são equivalentes:

• $\mathrm{\Pi }$ é sequencialmente compacta, isto é, toda sequência $\{{\mu }_n\}\subset \mathrm{\Pi }$ tem uma subsequência fracamente convergente.
• $\mathrm{\Pi }$ é apertada e uniformemente limitada em norma de variação total.

Comentários

Já que o teorema de Prokhorov expressa o aperto em termos de compacidade, o teorema de Arzelà–Ascoli é frequentemente usado para substituir a compacidade: em espaços de função, isto leva a uma caracterização do aperto em termos do módulo de continuidade ou um análogo apropriado.

Há várias extensões profundas e não triviais ao teorema de Prokhorov. Entretanto, estes resultados não obscurecem a importância e a relevância das aplicações do resultado original.

Ver também

• Métrica de Lévy–Prokhorov