Desigualdade de martingale de Doob

Na matemática, a desigualdade de martingale de Doob é um resultado no estudo dos processos estocásticos. Esta dá um limite sobre a probabilidade de que um processo estocástico exceda qualquer dado valor sobre um dado intervalo de tempo. Como o nome sugere, o resultado é geralmente dado no caso em que o processo é um martingale negativo, mas o resultado também é válido para submartingales não negativos.

A desigualdade recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob.

Afirmação da desigualdade

Considere

$X$

um submartingale que assume valores reais não negativos, seja em tempo discreto, seja em tempo contínuo. Isto é, para todos os tempos

$s$

e

$t$

com

$s<t$

:

$X_s\le 𝐄\left[X_t\right|{ℱ}_s].$

Para um submartingale de tempo contínuo, assume-se posteriormente que o processo é càdlàg. Então, para qualquer constante

$C>0$

,Predefinição:QuoteAcima, como é convencional,

$𝐏$

denota a medida de probabilidade no espaço amostral

$\mathrm{\Omega }$

do processo estocástico:Predefinição:Quotee

$𝐄$

denota o valor esperado com respeito à medida de probabilidade

$𝐏$

, isto é, a integral

$𝐄[X_T]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{X}_T(\omega )\mathrm{d}𝐏(\omega )$

no sentido da integração de Lebesgue.

${ℱ}_s$

denota a sigma-álgebra gerada por todas as variáveis aleatórias

$X_i$

com

$i\le s$

. A coleção de tais sigma-álgebras forma uma filtração do espaço de probabilidade.

Desigualdades posteriores

Há desigualdades de (sub)martingale posteriores que também se devem a Doob. Com os mesmos pressupostos sobre

$X$

como acima, considere:

$S_t=\underset{0\le s\le t}{\sup }{X}_s$

e, para

$p\ge 1$

, considere:

$\Vert X_t{\Vert }_p=\Vert X_t{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,𝐏)}={\left(𝐄[|X_t{|}^p]\right)}^{\frac{1}{p}}.$

Nesta notação, a desigualdade de Doob como afirmada acima lê:

$𝐏[S_T\ge C]\le \frac{\Vert X_T{\Vert }_1}{C}.$

As seguintes desigualdade também se aplicam: para

$p=1$

,

$\Vert S_T{\Vert }_p\le \frac{e}{e-1}(1+\Vert X_T{\log }^{+}{X}_T{\Vert }_p)$

e, para

$p>1$

,

$\Vert X_T{\Vert }_p\le \Vert S_T{\Vert }_p\le \frac{p}{p-1}\Vert X_T{\Vert }_p.$

Desigualdades relacionadas

A desigualdade de Doob para martingales de tempo discreto implica a desigualdade de Kolmogorov: se

$X_1,X_2,...$

for uma sequência de variáveis aleatórias independentes de valores reais, cada uma com média zero, fica claro que:

$\begin{array}{cc}𝐄[X_1+\dots +X_n+X_{n+1}|X_1,\dots ,X_n]& =X_1+\dots +X_n+𝐄\left[X_{n+1}\right|X_1,\dots ,X_n]\\ & =X_1+\cdots +X_n,\end{array},$

de modo que

$M_n=X_1+...+X_n$

é um martingale. Note que a desigualdade de Jensen implica que

$|M_n|$

é um submartingale não negativo se

$M_n$

for um martingale. Assim, assumindo

$p=2$

na desigualdade de martingale de Doob,

$𝐏[\underset{1\le i\le n}{\max }\left|M_i\right|\ge \lambda ]\le \frac{𝐄\left[M_n^2\right]}{{\lambda }^2},$

que é precisamente a afirmação da desigualdade de Kolmogorov.

Aplicação no movimento browniano

Considere que

$B$

denota um movimento browniano unidimensional canônico. Então,Predefinição:QuoteA prova é como segue: já que a função exponencial é monotonamente crescente, para qualquer

$\lambda$

não negativo,

$\{\underset{0\le t\le T}{\sup }{B}_t\ge C\}=\{\underset{0\le t\le T}{\sup }\exp (\lambda B_t)\ge \exp (\lambda C)\}.$

Pela desigualdade de Doob e, já que a exponencial do movimento browniano é um submartingale positivo,

$\begin{array}{cc}𝐏[\underset{0\le t\le T}{\sup }{B}_t\ge C]& =𝐏[\underset{0\le t\le T}{\sup }\exp (\lambda B_t)\ge \exp (\lambda C)]\\ & \le \frac{𝐄[\exp (\lambda B_T)]}{\exp (\lambda C)}\\ & =\exp (\frac{1}{2}{\lambda }^{2}T-\lambda C)& & 𝐄[\exp (\lambda B_t)]=\exp \left(\frac{1}{2}{\lambda }^{2}t\right)\end{array}.$

Já que o lado esquerdo não depende de

$\lambda$

, escolhe-se

$\lambda$

para minimizar o lado direito.

$\lambda =C/T$

dá a desigualdade desejada.