Lema de Yoneda

Na teoria das categorias, o lema de Yoneda diz que há bijeção, natural no objeto $c\in C$ e no functor $F:C\to 𝖲𝖾𝗍$, $$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}({\mathrm{hom}}_C(c,-),F)\cong F(c),$$ levando cada transformação natural $\alpha :{\mathrm{hom}}_C(c,-)\dot{\to }F$ ao elemento ${\alpha }_c(1_c)\in F(c)$. O nome do resultado, referenciando o matemático japonês Nobuo Yoneda, foi escolhido por Saunders Mac Lane, após um encontro na França.

Imersão de Yoneda

O lema de Yoneda implica que $\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}({\mathrm{hom}}_C(c,-),{\mathrm{hom}}_C(d,-))\cong {\mathrm{hom}}_C(d,c)$; isto é, a imersão de Yoneda $y:C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to {𝖲𝖾𝗍}^C$, definida por $$y(c)={\mathrm{hom}}_C(c,-),$$ $$y(f:d\to c)=-\circ f:{\mathrm{hom}}_C(c,-)\dot{\to }{\mathrm{hom}}_C(d,-)$$ é um functor pleno e fiel. Em particular, cada functor representável é representado por objeto único a menos de isomorfismo: ${\mathrm{hom}}_C(c,-)\cong {\mathrm{hom}}_C(d,-)$ implica $c\cong d$.

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