Teorema de Rouché-Capelli

O teorema de Rouché–Capelli é um teorema em álgebra linear que determina o número de soluções para um sistema de equações lineares, dada a classificação de sua matriz aumentada e matriz de coeficientes. O teorema também é conhecido como: Teorema de Kronecker–Capelli na Áustria, Polônia, Romênia e Rússia; Teorema de Rouché–Fontené na França; Teorema de Rouché–Frobenius na Espanha e em muitos países da América Latina; Teorema de Frobenius na Chéquia e na Eslováquia.

Definição formal

Um sistema de equações lineares com $n$ variáveis tem solução se e somente se o posto de sua matriz de coeficientes $A$ for igual ao posto de sua matriz aumentada $[A | b]$ .^[1] Se houver soluções, elas formam um subespaço afim de $ℝ^{n}$ de dimensão $n - p (A)$ . Em particular:

se $n = p (A)$ , a solução é única,
caso contrário, existem infinitas soluções.

Exemplo

Considere o sistema de equações

{\begin{matrix} x + y + 2 z = 3 \\ x + y + z = 1 \\ 2 x + 2 y + 2 z = 2 \end{matrix}

A matriz de coeficientes é

A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix}],

e a matriz aumentada é

(A | B) = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{matrix}] .

Visto que ambas têm o mesmo posto, a saber 2, existe pelo menos uma solução; e como seu posto é menor que o número de incógnitas, sendo o último 3, há infinitas soluções.

Em contraste, considere o sistema

{\begin{matrix} x + y + 2 z = 3 \\ x + y + z = 1 \\ 2 x + 2 y + 2 z = 5 \end{matrix}

A matriz de coeficientes é

A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix}],

e a matriz aumentada é

(A | B) = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 5 \end{matrix}] .

Neste exemplo, a matriz de coeficientes tem posto 2, enquanto a matriz aumentada tem posto 3; portanto, este sistema de equações não tem solução. Na verdade, um aumento no número de colunas linearmente independentes tornou o sistema de equações inconsistente.