Teorema de Cauchy–Hadamard

Em matemática, o teorema de Cauchy-Hadamard é o resultado de uma análise complexa (nome em homenagem aos matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy e Jacques Hadamard) descrevendo o raio de convergência de uma série de potências . Foi publicado em 1821 por Cauchy ,mas permaneceu relativamente desconhecido até que Hadamard o redescobriu . A primeira publicação de Hadamard desse resultado foi em 1888 ; ele também o incluiu como parte de sua tese de Ph.D. de 1892.

Teorema para uma variável complexa

Considere a série formal de potências em uma variável complexa z da forma:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$

Onde $a,c_n\in ℂ.$

Então o raio de convergência $R$ de ƒ no ponto a é dado por:

$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(|c_n{|}^{1/n})$

onde lim sup denota o limite superior, o limite quando n se aproxima do infinito do supremo dos valores da sequência após a n-ésima posição. Se os valores da sequência são ilimitados de modo que o limite superior seja infinito, então a série de potências não converge para perto de a, enquanto que se o limite superior for 0 então o raio de convergência é infinito, significando que a série converge em todo o plano.

Prova

Sem perda de generalidade, assuma que $a=0$ . Mostraremos primeiro que a série de potências $\sum c_n{z}^n$ converge para $|z|<R$, e então que diverge para $|z|>R$.

Primeiro suponha $|z|<R$ . Deixe $t=1/R$ não ser $0$ ou $\pm \mathrm{\infty }.$ Para qualquer $\epsilon >0$, existe apenas um número finito de $n$ de tal modo que $\sqrt[n]{|c_n|}\ge t+\epsilon$ . Agora $|c_n|\le (t+\epsilon {)}^n$ para todos, exceto um número finito de $c_n$, então a série $\sum c_n{z}^n$ converge se $|z|<1/(t+\epsilon )$ . Isso prova a primeira parte.

Por outro lado, para $\epsilon >0$, $|c_n|\ge (t-\epsilon {)}^n$ para infinitamente muitos $c_n$, então se $|z|=1/(t-\epsilon )>R$, vemos que a série não pode convergir porque o seu n-ésimo termo não tende a 0.

Teorema para várias variáveis complexas

Deixe $\alpha$ ser um índice múltiplo (um n de inteiros) com $|\alpha |={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n$, então $f(x)$ converge com raio de convergência $\rho$ (que também é um índice múltiplo) se e somente se

$\underset{|\alpha |\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[|\alpha |]{|c_{\alpha }|{\rho }^{\alpha }}=1$

para a série de potência multidimensional

$\sum _{\alpha \ge 0}{c}_{\alpha }(z-a{)}^{\alpha }:=\sum _{{\alpha }_1\ge 0,\dots ,{\alpha }_n\ge 0}{c}_{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n}(z_1-a_1{)}^{{\alpha }_1}\cdots (z_n-a_n{)}^{{\alpha }_n}$

A prova pode ser encontrada em.

Ligações externas

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