Lema do determinante de matriz

Na matemática, em particular na álgebra linear, o lema do determinante de matriz calcula o determinante da soma de uma matriz invertível A e o produto diádico, uPredefinição:Thinspv^T, de um vetorPredefinição:Ill de coluna u e um vetor linha v^T.

Afirmação

Suponha que A seja uma matriz quadrada invertível e u, v sejam vetores de coluna. Então o lema do determinante de matriz afirma que

$\det (𝐀+{𝐮𝐯}^{\mathsf{\text{T}}})=(1+{𝐯}^{\mathsf{\text{T}}}{𝐀}^{-1}𝐮)\det \left(𝐀\right).$

Aqui, uv^T é o produto externo{{Ill|en||Outer product|nlk=true}{ de dois vetores u e v.

O teorema também pode ser expresso em termos da matriz adjugada de A:

$\det (𝐀+{𝐮𝐯}^{\mathsf{\text{T}}})=\det \left(𝐀\right)+{𝐯}^{\mathsf{\text{T}}}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(𝐀\right)𝐮,$

caso em que se aplica se a matriz quadrada A é ou não invertível.

Prova

Primeiro a prova do caso especial A = I segue da igualdade:

$\left(\begin{array}{cc}𝐈& 0\\ {𝐯}^{\mathsf{\text{T}}}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}𝐈+{𝐮𝐯}^{\mathsf{\text{T}}}& 𝐮\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}𝐈& 0\\ -{𝐯}^{\mathsf{\text{T}}}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}𝐈& 𝐮\\ 0& 1+{𝐯}^{\mathsf{\text{T}}}𝐮\end{array}\right).$

O determinante do lado esquerdo é o produto dos determinantes das três matrizes. Como a primeira e a terceira matrizes são triangulares com diagonal unitária, seus determinantes são apenas 1. O determinante da matriz do meio é o nosso valor desejado. O determinante do lado direito é simplesmente (1 + v^Tu). Então temos o resultado:

$\det (𝐈+{𝐮𝐯}^{\mathsf{\text{T}}})=(1+{𝐯}^{\mathsf{\text{T}}}𝐮).$

Então o caso geral pode ser encontrado como:

$\begin{array}{cc}\det (𝐀+{𝐮𝐯}^{\mathsf{\text{T}}})& =\det \left(𝐀\right)\det (𝐈+\left({𝐀}^{-1}𝐮\right){𝐯}^{\mathsf{\text{T}}})\\ & =\det \left(𝐀\right)(1+{𝐯}^{\mathsf{\text{T}}}\left({𝐀}^{-1}𝐮\right)).\end{array}$

Aplicação

Se o determinante e o inverso de A já forem conhecidos, a fórmula fornece uma maneira numericamente barataPredefinição:Ill de calcular o determinante de A corrigido pela matriz uv^T. O cálculo é relativamente barato porque o determinante de A + uv^T não precisa ser calculado do zero (o que em geral é caro). Usando vetores unitários para u e/ou v, colunas individuais, linhas ou elementos de A podem ser manipulados e um determinante atualizado correspondente calculado de forma relativamente barata dessa maneira.

Quando o lema do determinante da matriz é usado em conjunto com a Predefinição:Ill, tanto o inverso quanto o determinante podem ser convenientemente atualizados juntos.

Generalização

Suponha que A seja uma matriz n por n invertível e U, V sejam matrizes n por m. Então

$\det (𝐀+{𝐔𝐕}^{\mathsf{\text{T}}})=\det ({𝐈}_{𝐦}+{𝐕}^{\mathsf{\text{T}}}{𝐀}^{-1}𝐔)\det (𝐀).$

No caso especial $𝐀={𝐈}_{𝐧}$ esta é a Predefinição:Ill.

Dada adicionalmente uma matriz invertível m por m W, a relação também pode ser expressa como

$\det (𝐀+{𝐔𝐖𝐕}^{\mathsf{\text{T}}})=\det ({𝐖}^{-1}+{𝐕}^{\mathsf{\text{T}}}{𝐀}^{-1}𝐔)\det \left(𝐖\right)\det \left(𝐀\right).$

Ver também

• A Predefinição:Ill, que mostra como atualizar o inverso, A⁻¹, para obter (A + uv^T)⁻¹.
• A fórmula de WoodburyPredefinição:Ill, que mostra como atualizar o inverso, A⁻¹, para obter (A + UCV^T)⁻¹.
• O teorema inverso binomialPredefinição:Ill para (A + UCV^T)⁻¹.