Categoria de relações

Predefinição:Imagem múltipla Na matemática, a categoria Rel tem a classe de conjuntos como objetos e relação binárias como morfismos.

Um morfismo (ou flecha) R : A → B nesta categoria é uma relação entre os conjuntos A e B, então Predefinição:Nowrap.

A composição de duas relações R: A → B e S: B → C é dada por

(a, c) ∈ S o R ⇔ para algum b ∈ B, (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ S.

Rel também já foi chamado de "categoria de correspondências de conjuntos".

Propriedades

A categoria Rel possui a categoria de conjuntos Set como uma (ampla) subcategoria, onde a flecha Predefinição:Nowrap em Set corresponde à relação Predefinição:Nowrap definida por Predefinição:Nowrap.Predefinição:Nota de rodapé

Um morfismo em Rel é uma relação, e o morfismo correspondente na categoria oposta a Rel tem as setas invertidas, então é a relação inversa. Assim, Rel contém sua oposta e é auto-dual.

A involução representada pela inversão da relação fornece o dagger para tornar Rel uma categoria dagger.

A categoria possui dois functors em si mesma dados pelo functor hom: Uma relação binária R ⊆ A × B e sua transposição R^T ⊆ B × A podem ser compostas tanto como R R^T quanto como R^T R. A primeira composição resulta em uma relação homogênea em A e a segunda em B. Como as imagens desses funtores hom estão em Rel própria, neste caso hom é um functor hom interno. Com seu functor hom interno, Rel é uma categoria fechada, e além disso, uma categoria compacta dagger.

A categoria Rel pode ser obtida a partir da categoria Set como a categoria Kleisli para o monad cujo functor corresponde ao conjunto das partes, interpretado como um functor covariante.

Talvez um pouco surpreendente à primeira vista seja o fato de que o produto em Rel é dado pela união disjuntaPredefinição:Rp (em vez do produto cartesiano como é em Set), e o mesmo ocorre com o coproduto.

Rel é monoidal fechada, se definirmos tanto o produto monoidal A ⊗ B quanto o functor hom interno A ⇒ B pelo produto cartesiano de conjuntos. Também é uma categoria monoidal se definirmos o produto monoidal pela união disjunta de conjuntos.

A categoria Rel foi o protótipo para a estrutura algébrica chamada de alégora por Peter J. Freyd e Andre Scedrov em 1990. Começando com uma categoria regular e um funtor F: A → B, eles observam propriedades do funtor induzido Rel(A,B) → Rel(FA, FB). Por exemplo, ele preserva composição, conversão e interseção. Tais propriedades são então usadas para fornecer axiomas para uma alegoria.

Relações como objetos

David Rydeheard e Rod Burstall consideram que Rel possui objetos que são relações homogêneas. Por exemplo, A é um conjunto e R ⊆ A × A é uma relação binária em A. Os morfismos desta categoria são funções entre conjuntos que preservam uma relação: Dizemos que S ⊆ B × B é uma segunda relação e f: A → B é uma função tal que $xRy⟹f(x)Sf(y),$ então f é um morfismo.

A mesma ideia é avançada por Adamek, Herrlich e Strecker, onde eles designam os objetos (A, R) e (B, S), conjunto e relação.