Algoritmo de autovalores de Jacobi

Predefinição:Mais notas Em álgebra linear numérica, o algoritmo de autovalores de Jacobi é um método iterativo para o cálculo de autovalores e autovetores de uma matriz simétrica real (um processo conhecido como diagonalização). É nomeada após Carl Gustav Jakob Jacobi, quem primeiro propôs o método em 1846, mas que só se tornou amplamente utilizado na década de 1950, com o advento dos computadores.

Descrição

Dada S sendo uma matriz simétrica, e G = G(i,j,θ) sendo uma matriz de rotação de Givens. Então:

$S^{\prime }=GS{G}^{\mathrm{\top }}$

é simétrica e semelhante a S.

Além disso, S′ tem entradas:

$\begin{array}{cc}S{\text{'}}_{ii}& =c^2{S}_{ii}-2sc{S}_{ij}+s^2{S}_{jj}\\ S{\text{'}}_{jj}& =s^2{S}_{ii}+2sc{S}_{ij}+c^2{S}_{jj}\\ S{\text{'}}_{ij}& =S{\text{'}}_{ji}=(c^2-s^2)S_{ij}+sc(S_{ii}-S_{jj})\\ S{\text{'}}_{ik}& =S{\text{'}}_{ki}=c{S}_{ik}-s{S}_{jk}& k\ne i,j\\ S{\text{'}}_{jk}& =S{\text{'}}_{kj}=s{S}_{ik}+c{S}_{jk}& k\ne i,j\\ S{\text{'}}_{kl}& =S_{kl}& k,l\ne i,j\end{array}$

onde s = sin(θ) e c = cos(θ).

Como G é ortogonal, S e S′ têm a mesma norma de Frobenius ||·||_F (a raiz quadrada da soma dos quadrados de todos os elementos), o que nos permite escolher θ que satisfaça S′_ij = 0, no caso em que S′ tem a maior soma dos quadrados na diagonal:

$S{\text{'}}_{ij}=\cos (2\theta )S_{ij}+\frac{1}{2}\sin (2\theta )(S_{ii}-S_{jj})$

Igualando-se isso a 0 e rearranjando, temos

$\tan (2\theta )=\frac{2S_{ij}}{S_{jj}-S_{ii}}$

se $S_{jj}=S_{ii}$ (caso que a expressão acima não contempla), teremos

$\theta =\frac{\pi }{4}$

Com o objetivo de otimizar esse efeito, S_ij deve ser o elemento com maior valor absoluto fora da diagonal. Esse elemento recebe o nome de pivô.

O método de Jacobi para autovalores efetua repetidamente rotações até que a matriz se torne aproximadamente diagonal por meio do ataque ao pivô a cada iteração. Assim, os elementos finais na diagonal principal são aproximações dos autovalores reais de S.