Anel de Kummer

Predefinição:Sem notas Em álgebra abstrata, em anel de Kummer $ℤ [ζ]$ é um subanel do anel dos números complexos, tal que cada um de seus elementos tem a forma

n_{0} + n_{1} ζ + n_{2} ζ^{2} + . . . + n_{m - 1} ζ^{m - 1}

,

onde ζ é uma m-ésima raiz da unidade, i.é.

ζ = e^{2 π i / m}

e n₀ a n_m-1 são números inteiros.

Um anel de Kummer é uma extensão de $ℤ$ , o anel de inteiros, por isto o símbolo $ℤ [ζ]$ . Como o polinômio mínimo de ζ é o m-ésimo polinômio ciclotômico, o anel $ℤ [ζ]$ é uma extensão de grau $ϕ (m)$ (onde φ denota a função totiente de Euler).

Uma tentativa de visualizar um anel de Kummer no plano complexo pode produzir algo parecido com mapa renascentista, com rosas dos ventos e loxodromias.

O conjunto das unidades de um anel de Kummer contém ${1, ζ, ζ^{2}, \dots, ζ^{m - 1}}$ . Pelo teorema da unidade de Dirichlet, também existem unidades de ordem infinita, exceto nos casos m=1, m=2 (neste caso temos o anel ordinários dos inteiros), o caso m=4 (os inteiros de Gauss) e os casos m=3, m=6 (os inteiros de Eisenstein).

Os anéis de Kummer são nomeados em memória de Ernst Kummer, que estudou a fatorização única de seus elementos.

Bibliografia