Bimomento

O bimomento é um tipo de esforço interno resultante das tensões perpendiculares (normais) à seção transversal associada ao deformação transversal de um prisma mecânico. O bimomento é muito importante na análise de problemas de deformação por torsão que, por não cumprirem as hipóteses adoptadas na definição do modelo de torção de Saint Venant, requerem a aparição de uma deformação seccional considerável para ser apreciável.

Relação com as tensões

O bimomento resultante sobre uma seção pode ser calculado como integral do produto da deformação unitário e a tensão perpendicular a uma seção:

$B_{\omega }(x)=\underset{A}{\int }\omega (y,z){\sigma }_x(x,y,z)dydz$

Relação com os deslocamentos

O bimomento pode ser considerado um esforço interno generalizado conjugado da deformação φ (função de deformação). Para comprovar isso basta examinar a expressão da energia de deformação para um prisma mecânico submetido à flexo-torsão:

$e_{def}=e_{flex}+e_{tor}+e_{fl-tr}$

Onde cada um dos termos anteriores se expressa em termos dos deslocamentos generalizados do eixo baricêntrico e as derivadas destes deslocamentos. É imediato comprovar que:

$B_{\omega }=\frac{\partial e_{def}}{\partial (d\phi /dx)}=0+\frac{\partial e_{tor}}{\partial (d\phi /dx)}+0=E{I}_{\omega }\frac{d\phi }{dx}$

Onde se tenha usado que só o termo de energia desacoplado de torsão é dado por:

$e_{tor}=\frac{1}{2}[GJ{\left(\frac{d{\theta }_x}{dx}\right)}^2+\frac{\kappa }{1-\kappa }GJ{(\frac{d{\theta }_x}{dx}-\phi )}^2+E{I}_{\omega }{\left(\frac{d\phi }{dx}\right)}^2]$

Cálculo do bimomento

O bimomento pode ser calculado a partir das solicitações por unidade de comprimento, ou a partir do sistema de equações diferenciais:

$\{\begin{array}{c}\frac{d\phi }{dx}=\frac{B_{\omega }}{E{I}_{\omega }}\\ \frac{d{B}_{\omega }}{dx}={\kappa }_{0}GJ\phi -\varphi (x;Q_y,Q_z,M_x)\end{array}$

Onde:

$J,I_{\omega }$, são respectivamente o módulo de torsão, o módulo de deformação

${\kappa }_0:=1-J/(I_y+I_z)$, se calcula a partir do módulo de torsão e o momento de inércia polar ou soma de momentos de inércia principais.

Derivando a segunda destas equações e substituindo nela a primeira relação se chega a uma equação de segunda ordem para o bimomento:

$\frac{d^2{B}_{\omega }}{d{x}^2}-{\kappa }_0\frac{GJ}{E{I}_{\omega }}{B}_{\omega }=-\frac{d\varphi }{dx}$

Onde a função $\varphi (x)$ que aparece no sistema anterior é dada por:

$\{\begin{array}{c}\varphi (x)=(1-{\kappa }_0)(z_C{Q}_y-y_C{Q}_z-M_x)-M_x-b_{\omega }\\ \frac{d\varphi }{dx}=(1-{\kappa }_0)(-z_C{q}_y+y_C{q}_z-m_x)-m_x-\frac{d{b}_{\omega }}{dx}\end{array}$

Onde (y_C, z_C) são as coordenadas do centro de cortante e q_y, q_z, m_x e b_ω são esforços por unidade de comprimento que podem ser expressos a partir da integral sobre o perímetro da seção das cargas superficiais que atuam sobre o prisma mecânico:

$\{\begin{array}{cc}{q}_y(x)=\underset{P}{\int }{f}_y(x,\overline{s})d\overline{s}& m_x(x)=\underset{P}{\int }[-(z-z_C)f_y+(y-y_C)f_z]d\overline{s}\\ q_z(x)=\underset{P}{\int }{f}_z(x,\overline{s})d\overline{s}& b_{\omega }(x)=\underset{P}{\int }\omega f_x(x,\overline{s})d\overline{s}\end{array}$

Se não há forças de superfície na direção do eixo baricêntrico (f_x = 0) nem momentos torsores distribuídos e também o centro de cortante coincide com o baricentro, tal como ocorre em um bom número de casos práticos então $\varphi (x)=cte.$ e a equação diferencial para o bimomento resulta ser uma equação diferencial homogênea de resolução muito simples.

Aplicações

O bimomento possui importância no comportamento de estruturas dotadas de elementos de hastes de paredes delgadas, quando nestas surgem tensões oriundas de bimomentos.

Ver também

• Deformação transversal
• Módulo de torsão
• Momento de deformação