Campo de Jacobi

Na geometria de Riemann, um campo de Jacobi é um campo vetorial ao longo de uma geodésica $\gamma$ em uma variedade Riemanniana descrevendo a diferença entre a geodésica e uma geodésica "infinitesimamente próxima". Em outras palavras, os campos de Jacobi ao longo de uma geodésica formam o espaço tangente à geodésica no espaço de todas as geodésicas. Estes campos são nomeados em homenagem a Carl Jacobi.

Solução da equação de Jacobi

Deixe $e_1(0)=\dot{\gamma }(0)/|\dot{\gamma }(0)|$ e conclua isso para obter uma base ortonormal $\{e_i(0)\}$ em $T_{\gamma (0)}M$. Transporte em paralelo para encontrar a base $\{e_i(t)\}$ ao longo de $\gamma$. Isto dá uma base ortonormal com $e_1(t)=\dot{\gamma }(t)/|\dot{\gamma }(t)|$.

O campo Jacobi pode ser escrito em coordenadas em termos dessa base como $J(t)=y^k(t)e_k(t)$ e assim

$\frac{D}{dt}J=\sum _k\frac{d{y}^k}{dt}{e}_k(t),\frac{D^2}{d{t}^2}J=\sum _k\frac{d^2{y}^k}{d{t}^2}{e}_k(t),$

e a equação de Jacobi pode ser reescrita como um sistema

$\frac{d^2{y}^k}{d{t}^2}+|\dot{\gamma }{|}^2\sum _j{y}^j(t)⟨R(e_j(t),e_1(t))e_1(t),e_k(t)⟩=0$ para cada $k$.

Desta forma, obtemos uma equação diferencial linear ordinária (ODE). Como esse ODE possui coeficientes uniformes, temos que existem soluções para todos $t$ e são únicas, dado $y^k(0)$ e $y^k\text{'}(0)$, para todo $k$..

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