Circuito LC

Esquema elétrico de um circuito LC

Diagrama animado do circuito LC

Os circuitos LC comportam-se como ressonadores eletrônicos, sendo um componente chave em muitas aplicações, tais como osciladores, filtros e misturadores de frequência. Esse circuito é muito usado em transmissores sem fio como as comunicações de rádio tanto para emissão quanto recepção.

Definição

Um circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar com uma frequência angular $\omega$ dada por

$\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}}$.

Nessa expressão, $L$ é a indutância e $C$ a capacitância.

Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume que não há dissipação de energia devido à resistência elétrica. Para um modelo incorporando a resistência veja o circuito RLC.

Frequência de ressonância

A frequência de ressonância do circuito LC (em radianos por segundo) é

$\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}}$

A frequência equivalente, medida em hertz é

$f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Análise do circuito

Pela Lei da Tensão de Kirchoff, nós sabemos que a tensão através do capacitor, $V_C$ deve ser igual à tensão através do indutor, $V_L$:

$V_C=V_L$

Do mesmo modo, pela lei da corrente de Kirchoff, a corrente através do capacitor mais a corrente através do indutor devem ser iguais a zero:

$i_C+i_L$ = 0

Das relações constitutivas para os elementos do circuito, nos sabemos que

$V_L(t)=L\frac{d{i}_L}{dt}$

e

$i_C(t)=C\frac{d{V}_C}{dt}$

Após rearranjar e substituir, nós obtemos uma equação diferencial de segunda ordem

$\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+\frac{1}{LC}i(t)=0$

Então definimos o parâmetro ω como segue:

$\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}}$

Com esta definição, podemos simplificar a equação diferencial:

$\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+{\omega }^{2}i(t)=0$

O polinomial associado é $s^2+{\omega }^2=0$, então

$s=+j\omega$

ou

$s=-j\omega$

onde j é a unidade imaginária.

Portando, a solução completa para a equação diferencial é

$i(t)=A{e}^{+j\omega t}+B{e}^{-j\omega t}$

e pode ser resolvida para $A$ e $B$ considerando-se as condições iniciais.

Visto que a exponencial é complexa, a solução represente uma corrente alternada senoidal.

Se as condições iniciais são tais que $A=B$, então nós podemos utilizar a fórmula de Euler para obter uma senóide real com amplitude $2A$ e frequência angular $\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}}$.

Deste modo, a solução resultante se torna:

$i(t)=2Acos(\omega t)$

As condições iniciais que satisfariam este resultado são:

$i(t=0)=2A$

e

$\frac{di}{dt}(t=0)=0$

Cálculo da capacitância ou da indutância

A equação $F=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ recebe três variáveis F (frequência, em hertz), L (indutância, em Henrys) e C (capacitância, em Farads), com F em evidência. Podemos deixar L ou C em evidência, para calcular a indutância ou a capacitância, respectivamente.

Para calcular a capacitância tendo a frequência e a indutância: $C=\frac{1}{L{F}^{2}4{\pi }^2}$

Para calcular a indutância tendo a frequência e a capacitância: $L=\frac{1}{C{F}^{2}4{\pi }^2}$

Impedância dos circuitos LC

LC série

Consideremos primeiro a impedância do circuito LC série. A impedância total é dada pela soma das impedâncias capacitiva e indutiva:

$Z=Z_L+Z_C$

Escrevendo a impedância indutiva como $Z_L=j\omega L$, a impedância capacitiva como $Z_C=\frac{-j}{\omega C}$ e substituindo nós temos:

$Z=j\omega L+\frac{-j}{\omega C}$

Escrevendo esta expressão sob um denominador comum temos:

$Z=\frac{({\omega }^{2}LC-1)j}{\omega C}$

Note que o numerador implica que se ${\omega }^{2}LC=1$ a impedância total Z será igual a zero e em outros casos diferente de zero. Desse modo o circuito conectado em série irá atuar como um filtro passa-banda, possuindo impedância zero na frequência de ressonância do circuito LC.

LC paralelo

A mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então dada por:

$Z=\frac{Z_L{Z}_C}{Z_L+Z_C}$

e após a substituição de $Z_L$ e $Z_C$, nós temos:

$Z=\frac{\frac{L}{C}}{\frac{({\omega }^{2}LC-1)j}{\omega C}}$

o que simplifica a:

$Z=\frac{-L\omega j}{{\omega }^{2}LC-1}$

Note que $\underset{{\omega }^{2}LC\to 1}{\lim }Z=\mathrm{\infty }$ porém para todos os outros valores de ${\omega }^{2}LC$ a impedância é finita. Deste modo o circuito conectado em paralelo atuará como um filtro rejeita-banda, possuindo impedância infinita na frequência de ressonância do circuito LC.

Seletividade

Os circuitos LC são comumente utilizados como filtros; a razão L/C determina a sua seletividade. Para um circuito ressonante série, quanto maior a indutância e menor a capacitância, mais estreita é a banda passante. Para um circuito ressonante paralelo o inverso se aplica.

Ver também

• Frequência de ressonância
• Circuito RLC
• Circuito RC
• Circuito RL