Circulação (física)

Linhas de campo de um campo vetorial Predefinição:Math, em torno do limite de uma superfície curva aberta com elemento de linha infinitesimal Predefinição:Math ao longo da fronteira e através do seu interior com Predefinição:Math o elemento de superfície infinitesimal e Predefinição:Math o unidade normal à superfície. Em cima: Circulação é a integral de linha de Predefinição:Math em torno de um circuito fechado Predefinição:Math. Projetando Predefinição:Math ao longo de Predefinição:Math, então somando. Aqui Predefinição:Math é dividido em componentes perpendicular (⊥) paralelo ( ‖ ) a Predefinição:Math, os componentes paralelos são tangenciais ao laço fechado e contribuem para a circulação, os componentes perpendiculares não. Em baixo: A circulação também é o fluxo da vorticidade Predefinição:Math através da superfície, e o rotacional de Predefinição:Math é através da superfície, e heuristicamente representado como uma seta helicoidal (não uma representação literal). Observe-se a projeção de Predefinição:Math ao longo Predefinição:Math e o rotacional de Predefinição:Math pode ser no sentido negativo, reduzindo a circulação.

Em física, circulação é a integral de linha de um campo vetorial em torno de uma curva fechada. Em dinâmica de fluidos, o campo é o campo de velocidade do fluido. Em eletrodinâmica, pode ser o campo elétrico ou o campo magnético.

Circulação foi usada pela primeira vez de forma independente por Frederick Lanchester, Martin Kutta e Nikolai Jukovski. Geralmente é denotada com Predefinição:Math (letra grega gama maiúscula).

Definição e propriedades

Se Predefinição:Math é um campo vetorial e Predefinição:Math é um vetor que representa o comprimento diferencial de um pequeno elemento de uma curva definida, a contribuição desse comprimento diferencial para a circulação é Predefinição:Math:

$$\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }=𝐕\cdot \mathrm{d}𝐥=\left|𝐕\right|\left|\mathrm{d}𝐥\right|\cos \theta .$$

Aqui, Predefinição:Math é o ângulo entre os vetores Predefinição:Math e Predefinição:Math.

A circulação Predefinição:Math de um campo vetorial Predefinição:Math em torno de uma curva fechada Predefinição:Math é a integral de linha:

$$\mathrm{\Gamma }={\oint }_C𝐕\cdot \mathrm{d}𝐥.$$

Em um campo vetorial conservador esta integral é avaliada como zero para cada curva fechada. Isso significa que uma integral de linha entre dois pontos quaisquer no campo é independente do caminho percorrido. Também implica que o campo vetorial pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar, a qual é chamada um potencial.

Relação com vorticidade e rotacional

A circulação pode estar relacionada ao rotacional de um campo vetorial Predefinição:Math e, mais especificamente, para vorticidade se o campo for um campo de velocidade de fluido, $$\mathit{\omega }=\mathrm{\nabla }\times 𝐕.$$

Pelo teorema de Stokes, o flux de vetores rotacional ou vorticidade através de uma superfície S é igual à circulação em torno de seu perímetro, $$\mathrm{\Gamma }={\oint }_{\partial S}𝐕\cdot \mathrm{d}𝐥=\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\times 𝐕\cdot \mathrm{d}𝐒=\underset{S}{\iint }\mathit{\omega }\cdot \mathrm{d}𝐒$$

Aqui, o caminho de integração fechado Predefinição:Math é a fronteira e perímetro de uma superfície aberta Predefinição:Math, cujo elemento infinitesimal normal Predefinição:Math é orientado de acordo com a regra da mão direita. Assim, rotacional e vorticidade são a circulação por unidade de área, obtida em torno de um laço local infinitesimal.

Em fluxo potencial de um fluido com uma região de vorticidade, todas as curvas fechadas que envolvem a vorticidade têm o mesmo valor para circulação.

Usos

Teorema de Kutta–Joukowski em dinâmica dos fluidos

Na dinâmica dos fluidos, a sustentação por unidade de extensão (L') agindo sobre um corpo em um campo de fluxo bidimensional é diretamente proporcional à circulação, i.e. pode ser expresso como o produto da circulação Γ sobre o corpo, a densidade do fluido $\rho$, e a velocidade do corpo em relação ao fluxo livre $v_{\mathrm{\infty }}$: $$L^{\prime }=\rho v_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$$

Isto é conhecido como o teorema de Kutta–Joukowski.

Esta equação se aplica em torno de aerofólios, onde a circulação é gerada pela ação do aerofólio; e em torno de objetos giratórios experimentando o efeito Magnus, onde a circulação é induzida mecanicamente. Na ação do aerofólio, a magnitude da circulação é determinada pela condição de Kutta.

A circulação em cada curva fechada ao redor do aerofólio tem o mesmo valor e está relacionada à sustentação gerada por cada unidade de comprimento de vão. Desde que a curva fechada envolva o aerofólio, a escolha da curva é arbitrária.

A circulação é frequentemente usada em dinâmica de fluidos computacional como uma variável intermediária para calcular forças em um aerofólio ou outro corpo.

Equações fundamentais do eletromagnetismo

Em eletrodinâmica, o lei da indução de Maxwell-Faraday pode ser expresso em duas formas equivalentes: que a curvatura do campo elétrico é igual à taxa negativa de variação do campo magnético, $$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$$

ou que a circulação do campo elétrico em torno de uma espira é igual à taxa negativa de variação do fluxo do campo magnético através de qualquer superfície abrangida pela espira, pelo teorema de Stokes $${\oint }_{\partial S}𝐄\cdot \mathrm{d}𝐥=\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\times 𝐄\cdot \mathrm{d}𝐒=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{S}{\int }𝐁\cdot \mathrm{d}𝐒.$$

A circulação de um campo magnético estático é, pela lei de Ampère, proporcional à corrente total envolvida pelo circuito $${\oint }_{\partial S}𝐁\cdot \mathrm{d}𝐥={\mu }_0\underset{S}{\iint }𝐉\cdot \mathrm{d}𝐒={\mu }_0{I}_{\text{enc}}.$$

Para sistemas com campos elétricos que mudam ao longo do tempo, a lei deve ser modificada para incluir um termo conhecido como correção de Maxwell.

Ver também

• Equações de Maxwell
• Lei de Biot-Savart em aerodinâmica
• Teorema da circulação de Kelvin