Classe tracial

Em matemática, sobretudo na análise funcional, os operadores classe tracial são uma família de operadores compactos para os quais é possível definir um traço.

Definição

Seja $H$ um espaço de Hilbert separável e $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ uma família ortonormal densa em $H$. Um operador $A:H\to H$ é dito ser de classe tracial se a série converge:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert A{e}_k\Vert$

O traço de $A$, é então, definido como:

$\text{tr}(A)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨A{e}_k,e_k⟩$

Esta série é absolutamente convergente pois:

$|⟨A{e}_k,e_k⟩|\le \Vert A{e}_k\Vert \cdot \Vert e_k\Vert =\Vert A{e}_k\Vert$

Propriedades

• Todo operador classe tracial é também um operador compacto.
• O traço independe da escolha da base.