Coclasse

Em teoria dos grupos, se $H$ é um subgrupo de um grupo $G$ e $x\in G$, o subconjunto de $G$, definido por $Hx=\{hx:h\in H\}$ é chamado de uma coclasse (à direita) de $H$ em $G$, ou de classe lateral (à direita) de $H$ em $G$. Analogamente, chamamos de coclasse (à esquerda) de $H$ em $G$, ou de classe lateral (à esquerda) de $H$ em $G$, o subconjunto de $G$, definido por $xH=\{xh:h\in H\}$.

As terminologias vem do fato de as coclasses serem classes de equivalência das seguintes relações de equivalência: $y\underset{D}{\sim }x\iff \mathrm{\exists }h\in H\text{tal que}y=hx$, para as coclasses à direita e $y\underset{E}{\sim }x\iff \mathrm{\exists }h\in H\text{tal que}y=xh$, para as coclasses à esquerda.

Dada uma partição de um conjunto, um sistema de representantes é um conjunto $\{x_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Gamma }}$ que tem exatamente um elemento em cada subconjunto da partição. Ou seja, se $x$ for um representante da coclasse $Hx$, é claro que para um $x^{\prime }=hx$ para certo $h\in H$, então $H{x}^{\prime }=Hx$, e, portanto $x^{\prime }$ é outro representante da mesma coclasse $Hx$.

Quando o conjunto das coclasses (à direita ou à esquerda) de $H$ em $G$ é finito, dizemos que $H$ é um subgrupo de índice finito em $G$, e a cardinalidade do conjunto das coclasses é chamado índice de $H$ em $G$, e denotado por $|G:H|$, ou também por $(G:H)$. A definição de índice é independente de ter sido tomado uma coclasse à direita ou à esquerda, pois a aplicação $f:\{\text{coclasses à direita}\}\to \{\text{coclasses à esquerda}\}$ dada por $Hx\mapsto x^{-1}H$ estabelece uma bijeção bem definida entre os dois conjuntos, o que $Hx\mapsto xH$ não faz, por não ser bem definida (e, portanto não é função!), pois a imagem depende do representante da coclasse.

As coclasses são ferramentas básicas para o estudo de grupos; por exemplo, elas cumprem um papel fundamental no teorema de Lagrange.