Conjuntos bem separados

A e B são bem separados.

Em espaços métricos, o conceito de conjuntos bem separados é mais forte que o conceito de desconexos. Dois conjuntos não vazio são ditos bem separados se a distância entre eles é positiva.

Definição

Seja $(𝕊,d)$ um espaço métrico, define-se a distância entre dois subconjuntos $A$ e $B$ não-vazios de $S$ como o ínfimo das distâncias entre um ponto do conjunto $A$ e um ponto do conjunto $B$:

$\text{dist}(A,B):=\inf \{d(x,y):x\in A,y\in B\}$

Se $\text{dist}(A,B)>0$ então diz-se que $A$ e $B$ são conjuntos bem separados.

Conjuntos bem separados desconexos

Seja $A$ e $B$ conjuntos bem separados em um espaço métrico $(𝕊,d)$. Seja ainda:

$\delta :=\frac{1}{3}\text{dist}(A,B)>0$

Defina os conjuntos abertos:

$O_A=\bigcup _{x\in A}B(x,\delta )$

$O_B=\bigcup _{x\in B}B(x,\delta )$

onde $B(x,\delta )$ é a bola de centro $x$ e raio $\delta$ definida como:

$B(x,\delta )=\{y\in 𝕊:\text{d}(x,y)<\delta \}$

É fácil ver que $O_A$ e $O_B$ são disjuntos e ainda que $A\subseteq O_A$ e $B\subseteq O_B$.

Propriedades

• Se $A$ e $B$ são disjuntos, e $A$ é compacto e $B$ é fechado, então $A$ e $B$ são bem separados.

• $A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }$ então $A$ e $B$ não são bem separados.

• Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos bem separados em ${ℝ}^n$ então:

${\mu }^{*}(A\cup B)={\mu }^{*}(A)+{\mu }^{*}(B)$, onde ${\mu }^{*}$ é medida exterior de Lebesgue.