Coordenadas cilíndricas parabólicas

Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a $z$ . Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.

Definição básica

As coordenadas cilíndricas parabólicas $(σ, τ, z)$ são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z) por:

x = σ τ

y = \frac{1}{2} (τ^{2} - σ^{2})

z = z

As superfícies com $σ$ constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

2 y = \frac{x^{2}}{σ^{2}} - σ^{2}

com concavidade voltada para a direção $+ y$ , ao passo que as superfícies com $τ$ constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

2 y = - \frac{x^{2}}{τ^{2}} + τ^{2}

com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção $- y$ . Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por $x = y = 0$ . O raio r tem uma equação simples, a saber,

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2} (σ^{2} + τ^{2})

que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.

Fatores de escala

Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas $σ$ e $τ$ são:

h_{σ} = h_{τ} = \sqrt{σ^{2} + τ^{2}}

h_{z} = 1

O elemento infinitesimal de volume é

d V = h_{σ} h_{τ} h_{z} = (σ^{2} + τ^{2}) d σ d τ d z

e o laplaciano é igual a

\nabla^{2} Φ = \frac{1}{σ^{2} + τ^{2}} (\frac{\partial^{2} Φ}{\partial σ^{2}} + \frac{\partial^{2} Φ}{\partial τ^{2}}) + \frac{\partial^{2} Φ}{\partial z^{2}}

Outros operadores diferenciais tais como $\nabla \cdot 𝐅$ e $\nabla \times 𝐅$ podem ser expressos nas coordenadas $(σ, τ)$ substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.

Harmônicos cilindro parabólico

Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como:

V = S (σ) T (τ) Z (z)

E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como:

\frac{1}{σ^{2} + τ^{2}} [\frac{\ddot{S}}{S} + \frac{\ddot{T}}{T}] + \frac{\ddot{Z}}{Z} = 0

Uma vez que a equação em Z está separada dos outros termos, podemos escrever

\frac{\ddot{Z}}{Z} = - m^{2}

Onde m é constante. A solução para Z(z) é:

Z_{m} (z) = A_{1} e^{i m z} + A_{2} e^{- i m z}

Substituindo $- m^{2}$ por $\ddot{Z} / Z$ , a equação de Laplace agora pode ser escrita como:

[\frac{\ddot{S}}{S} + \frac{\ddot{T}}{T}] = m^{2} (σ^{2} + τ^{2})

Ainda podemos separar as funções S e T e introduzir uma constante $n^{2}$ para obter:

\ddot{S} - (m^{2} σ^{2} + n^{2}) S = 0

\ddot{T} - (m^{2} τ^{2} - n^{2}) T = 0

As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico

S_{m n} (σ) = A_{3} y_{1} (n^{2} / 2 m, σ \sqrt{2 m}) + A_{4} y_{2} (n^{2} / 2 m, σ \sqrt{2 m})

T_{m n} (τ) = A_{5} y_{1} (n^{2} / 2 m, i τ \sqrt{2 m}) + A_{6} y_{2} (n^{2} / 2 m, i τ \sqrt{2 m})

Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:

V (σ, τ, z) = \sum_{m, n} A_{m n} S_{m n} T_{m n} Z_{m}

Aplicações

As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.