Coordenadas parabólicas

As coordenadas parabólicas são um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. A versão tridimensional das coordenadas parabólicas é obtida através da rotação do sistema bidimensional sobre o eixo de simetria de todas as parábolas.

As coordenadas parabólicas possuem muitas aplicações, por exemplo, no tratamento do efeito Stark e da teoria potencial das arestas.

Coordenadas parabólicas bidimensionais

AS coordenadas parabólicas bidimensionais $(\sigma ,\tau )$ são definidas pelas equações

$x=\sigma \tau$

$y=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$

As curvas com $\sigma$ constante formam parábolas confocais

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

voltadas para cima (ou seja, no sentido $+y$), ao passo que as curvas com $\tau$ constante formam parábolas confocais

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

voltadas para baixo (ou seja, no sentido $-y$). Os focos de todas essas parábolas estão localizados na origem.

Fatores de escala bidimensionais

Os fatores de escala para as coordenadas parabólicas $(\sigma ,\tau )$ são iguais a

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$

Daí, o elemento infinitesimal de área é

$dA=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau$

E o laplaciano vale

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2})$

Outros operadores diferenciais tais como $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ e $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ podem ser expressos nas coordenadas (σ, τ) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais para coordenadas ortogonais.

Coordenadas parabólicas tridimensionais

Superfícies coordenadas das coordenadas parabólicas tridimensionais. O parabolóide vermelho corresponde a τ=2, o parabolóide azul corresponde a σ=1, e o semiplano amarelo corresponde a φ =- 60 °. As três superfícies se intersectam no ponto P (mostrado como uma esfera preta) de coordenadas cartesianas aproximadamente iguais a (1,0; -1,732; 1,5).

As coordenadas parabólicas bidimensionais formam a base para dois conjuntos de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas cilíndricas parabólicas são produzidas por projeção na direção $z$.

A rotação sobre o eixo de simetria das parábolas produz um conjunto de paraboloides confocais, formando um sistema de coordenadas que também é conhecido como "coordenadas parabólicas"

$x=\sigma \tau \cos \phi$

$y=\sigma \tau \sin \phi$

$z=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$

onde as parábolas estão alinhadas com o eixo $z$, sobre o qual a rotação foi realizada. Assim, o ângulo azimutal $\varphi$ é definido por

$\tan \phi =\frac{y}{x}$

As superfícies cujo $\sigma$ é constante formam paraboloides confocais

$2z=\frac{x^2+y^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

Com concavidade para cima (ou seja, no sentido $+z$), enquanto que as superfícies com $\tau$ constante formam paraboloides confocais

$2z=-\frac{x^2+y^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

de concavidade para baixo (ou seja, na direção $-z$). Os focos de todos estes paraboloides estão localizados na origem.

O tensor métrico de Riemann associado a este sistema de coordenadas é

$g_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }^2+{\tau }^2& 0& 0\\ 0& {\sigma }^2+{\tau }^2& 0\\ 0& 0& {\sigma }^2{\tau }^2\end{array}\right]$

Fatores de escala tridimensionais

Os três fatores de escala tridimensionais são:

$h_{\sigma }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$

$h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$

$h_{\phi }=\sigma \tau$

Nota-se que os fatores de escala $h_{\sigma }$ e $h_{\tau }$ são os mesmos do caso bidimensional. O elemento infinitesimal de volume é então

$dV=h_{\sigma }{h}_{\tau }{h}_{\phi }=\sigma \tau ({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau d\phi$

E o laplaciano é dado por

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{1}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\tau \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)]+\frac{1}{{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\phi }^2}$

Outros operadores diferenciais tais como $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ e $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ podem ser expresso nas coordenadas $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais encontradas em coordenadas ortogonais.

Uma formulação alternativa

A conversão de coordenadas cartesianas para as parabólicas é efetuada através da seguinte transformação:

$\xi =\sqrt{\sqrt{x^2+y^2+z^2}+z},$

$\eta =\sqrt{\sqrt{x^2+y^2+z^2}-z},$

$\varphi =\arctan \frac{y}{x}.$

O jacobiano da transformação de coordenadas dado em termos infinitesimais como sendo

$\left[\begin{array}{c}d\eta \\ d\xi \\ d\varphi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}& -1+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}& 1+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}& \frac{x}{x^2+y^2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right]$

sob as condições $\eta \ge 0,$ e $\xi \ge 0.$

Se φ = 0, então uma seção transversal é obtida; as coordenadas se limitam ao plano xz:

$\eta =-z+\sqrt{x^2+z^2},$

$\xi =z+\sqrt{x^2+z^2}.$

Se η=c (uma constante), então

${z|}_{\eta =c}=\frac{x^2}{2c}-\frac{c}{2}.$

Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima.

Se ξ=c então

${z|}_{\xi =c}=\frac{c}{2}-\frac{x^2}{2c}.$

Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria é vertical e sua concavidade é voltada para baixo.

Agora considere qualquer parábola η=c para cima e qualquer parábola ξ= b para baixo. É desejável encontrar sua interseção:

$\frac{x^2}{2c}-\frac{c}{2}=\frac{b}{2}-\frac{x^2}{2b},$

rearrumando,

$\frac{x^2}{2c}+\frac{x^2}{2b}=\frac{b}{2}+\frac{c}{2},$

evidenciando x²,

$x^2\left(\frac{b+c}{2bc}\right)=\frac{b+c}{2},$

cancelando os fatores comuns de ambos os lados,

$x^2=bc,$

tomando a raiz quadrada,

$x=\sqrt{bc}.$

x é a média geométrica de b e c. A abscissa da intersecção foi encontrada. Vamos encontrar a ordenada. Substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para cima:

$z_c=\frac{bc}{2c}-\frac{c}{2}=\frac{b-c}{2},$

em seguida, substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para baixo:

$z_b=\frac{b}{2}-\frac{bc}{2b}=\frac{b-c}{2}.$

z_c = z_b, com deveria ser. Logo, o ponto de intersecção é

$P:(\sqrt{bc},\frac{b-c}{2}).$

Desenhe um par de tangentes através do ponto P, cada uma tangente a cada parábola. A reta tangente através do ponto P à parábola superior tem inclinação:

$\frac{d{z}_c}{dx}=\frac{x}{c}=\frac{\sqrt{bc}}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c.$

A reta tangente através do ponto P à parábola inferior tem inclinação:

$\frac{d{z}_b}{dx}=-\frac{x}{b}=\frac{-\sqrt{bc}}{b}=-\sqrt{\frac{c}{b}}=s_b.$

O produto das duas inclinações é

$s_c{s}_b=-\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{b}}=-1.$

O produto das inclinações é “uma inclinação negativa”, pois as retas são perpendiculares. Isto é verdade para qualquer par de parábolas com concavidades em direções opostas.

Assim, um par de parábolas intercepta-se em dois pontos, mas quando φ é zero, ele realmente limita as outras coordenadas ξ e η a se moverem no semiplano com x>0, pois x<0 corresponde a φ = π.

Desta forma, um par de coordenadas ξ e η especificam um único ponto no semiplano. Então, fazendo φ entre 0 e 2π, o semiplano gira com o ponto (em torno do eixo z, que é a dobradiça): as parábolas formam paraboloides. Um par de paraboloides opostos formam um círculo, e um valor de φ especifica um semiplano que corta o círculo de intersecção em um único ponto. As coordenadas cartesianas dos pontos são [Menzel, p. 139]:

$x=\sqrt{\xi \eta }\cos \varphi ,$

$y=\sqrt{\xi \eta }\sin \varphi ,$

$z=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(\xi -\eta ).$

$\left|\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi }{\eta }}\cos \varphi & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\eta }{\xi }}\cos \varphi & -\sqrt{\xi \eta }\sin \varphi \\ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi }{\eta }}\sin \varphi & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\eta }{\xi }}\sin \varphi & \sqrt{\xi \eta }\cos \varphi \\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{c}d\eta \\ d\xi \\ d\varphi \end{array}\right|$

Ver também

• Coordenadas ortogonais
• Sistemas de coordenadas ortogonais bidimensionais:

• • Sistema de coordenadas cartesianas
  • Sistema de coordenadas polares
  • Sistema de coordenadas parabólicas

• Coordenadas bipolares
• Coordenadas hiperbólicas
• Coordenadas elípticas

• Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:

• • Sistema de coordenadas cartesianas
  • Sistema de coordenadas cilíndricas
  • Sistema de coordenadas esféricas
  • Sistema de coordenadas parabólicas
  • Coordenadas cilíndricas parabólicas
  • Coordenadas paraboloidais
  • Coordenadas esferoidais oblatas
  • Coordenadas esferoidais prolatas
  • Coordenadas elipsoidais
  • Coordenadas cilíndricas elípticas
  • Coordenadas toroidais
  • Coordenadas biesféricas
  • Coordenadas cilíndricas bipolares
  • Coordenadas cônicas
  • Coordenadas cíclides anel-plano
  • Coordenadas cíclides disco plano
  • Coordenadas bicíclides
  • Coordenadas cap-cíclides

Referências

• Predefinição:Tradução/ref

• Predefinição:Citar livro

• Predefinição:Citar livro

• Predefinição:Citar livro

• Predefinição:Citar livro

• Predefinição:Citar livro Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.

• Predefinição:Citar livro

Ligações externas

• Descrição em MathWorld das coordenadas parabólicas – inglês