Coordenadas toroidais

Ilustração das coordenadas toroidais, que são obtidas pela rotação do sistema de coordenadas bipolar bidimensional sobre um eixo separando seus focos. O foco está localizado a uma distância vertical 1 do eixo z. A esfera vermelha é a isosuperfície σ=30°, o toro azul é a isosuperfície τ=0,5, e o semi-plano amarelo é a isosuperfície φ=60°. O semi-plano verde marca o plano x-z plane, a partir do qual φ é medido. O ponto preto está na intersecção dessas três isosuperfícies, nas coordenas cartesianas (0.996, -1.725, 1.911).

Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos $F_1$ e $F_2$ em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio $a$ no plano $xy$ plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo $z$ é o eixo de rotação.

Definição

Interpretação geométrica das coordenadas σ e τ de um ponto P.

A definição mais comum das coordenadas toroidais $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ é

$x=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\cos \varphi$

$y=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\sin \varphi$

$z=a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }$

onde a coordenada $\sigma$ de um ponto $P$ é igual ao ângulo $F_{1}P{F}_2$ e a coordenada $\tau$ é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias $d_1$ e $d_2$

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}.$

Transformação inversa

As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula

$\tan \varphi =\frac{y}{x}$

O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por

${\rho }^2=x^2+y^2$

e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por

$d_1^2=(\rho +a{)}^2+z^2$

$d_2^2=(\rho -a{)}^2+z^2$

A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$

Fatores de escalas

Os fatores de escala para as coordenadas toroidais $\sigma$ e $\tau$ são

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\cosh \tau -\cos \sigma }$

enquanto o fator de escala azimutal é

$h_{\varphi }=\frac{a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }$

Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por

$dV=\frac{a^3\sinh \tau }{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^3}d\sigma d\tau d\varphi$

e o laplaciano é toma a forma

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^3}{a^2\sinh \tau }[\sinh \tau \frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\frac{1}{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)+\frac{1}{\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}]$

Referências

• Byerly, WE. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264-266
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Bibliografia

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Ligações externas

• Coordenadas Toroidais no MathWorld