Derivada Fracionária de Riemann-Liouville

Derivada fracionária de Riemann-Liouville é uma das definições para derivada fracionária e é o operador inverso da Integral Fracionária de Riemann-Liouville. Algumas outras definições para derivada fracionária: Derivada Fracionária de Grünwald-Letnikov, derivada de Caputo, Riez e outras.

Definição

Definimos a derivada fracionária de Riemann-Liouville (${}_{RL}D$), de ordem $\alpha$, com $n-1⩽\text{Re}(\alpha )⩽n$ como

${}_{RL}{D}^{\alpha }f(t)=D^n[I^{n-\alpha }f(t)]$

em que $I$ é a Integral Fracionária segundo Riemann-Liouville e $D^n$ é a derivada do cálculo clássico de ordem inteira $n$.

Nessa definição, a derivada de ordem arbitrária equivale à derivada de ordem inteira de uma integral de ordem arbitrária.

Exemplos e consequências

Exemplo 1

Caso $f(t)=t^{\beta }$, $\beta \ne 0$, a derivada arbitrária de ordem $\alpha$ é dada por:

${}_{RL}{D}^{\alpha }{t}^{\beta }=\frac{\mathrm{\Gamma }(\beta +1)}{\mathrm{\Gamma }(\beta -\alpha +1)}{t}^{\beta -\alpha }$

em que $\mathrm{\Gamma }$ é a Função gama.

Exemplo 1.1

Calculemos ${}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{-1}{2}}$ utilizando o exemplo anterior.

${}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{-1}{2}}=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{-1}{2}+1)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}+1)}{t}^{-1}=0$

pois $|\mathrm{\Gamma }(0)|=\mathrm{\infty }$.

Exemplo 1.2

Calculemos ${}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}\left[{}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{-1}{2}}\right]$ pelo exemplo anterior.

${}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}\left[{}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{-1}{2}}\right]={}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}\left[0\right]=0.$

Exemplo 1.3

Calculemos $D^1{t}^{\frac{-1}{2}}$.

$D^1{t}^{\frac{-1}{2}}=-\frac{t^{-3}2}{2}$

Conclusão 1

Pelos dois exemplos anteriores concluímos que

$D^{\alpha }{D}^{\beta }f(t)\ne D^{\alpha +\beta }f(t).$

Exemplo 1.4

Calculemos ${}_{RL}{D}^{\frac{3}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}$ utilizando o exemplo anterior.

${}_{RL}{D}^{\frac{3}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+1)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1)}{t}^{-1}=0$

Exemplo 1.5

Calculemos ${}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}\left[{}_{RL}{D}^{\frac{3}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}\right]$ pelo exemplo anterior.

${}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}\left[{}_{RL}{D}^{\frac{3}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}\right]={}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}\left[0\right]=0.$

Exemplo 1.6

Calculemos ${}_{RL}{D}^{\frac{3}{2}}\left[{}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}\right]$ pelo exemplo anterior.

${}_{RL}{D}^{\frac{3}{2}}\left[{}_{RL}{D}^{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}\right]={}_{RL}{D}^{\frac{3}{2}}\left[\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+1)}{\mathrm{\Gamma }(0-\frac{3}{2}+1)}{t}^0\right]=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2})t^{\frac{-3}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(0-\frac{3}{2}+1)}=-\frac{1}{4}{t}^{\frac{-3}{2}}=D^2{t}^{\frac{1}{2}}.$

Conclusão 2

Pelos dois exemplos anteriores concluímos que

$D^{\alpha }{D}^{\beta }f(t)\ne D^{\beta }{D}^{\alpha }f(t).$

Exemplo 2

Seja $f(t)=1=t^0$, temos:

${}_{RL}{D}^{\alpha }{t}^0=D^n[I^{n-\alpha }{t}^0]$

${}_{RL}{D}^{\alpha }{t}^0=D^n\left[\frac{\mathrm{\Gamma }(1)}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha +1)}{t}^{n-\alpha }\right]$

${}_{RL}{D}^{\alpha }{t}^0=\frac{\mathrm{\Gamma }(1)}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha +1)}\left[\frac{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha +1)}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}{t}^{-\alpha }\right]$

${}_{RL}{D}^{\alpha }{t}^0=\frac{t^{-\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}.$

Nota importante

Observe que neste exemplo quando $\alpha$ não-inteiro a derivada de Riemann-Liouville é diferente de zero. Entretanto observe que para $\alpha \in \mathbb{N}$ como $(1-\alpha )\in {\mathbb{Z}}_{\mathbb{-}}$ e $|\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )|\to 0$ a [derivada de Riemann-Liouville resulta em zero, i.e., recupera a derivada de uma constante do cálculo clássico.

Em particular, tomando $\alpha =\frac{1}{2}$,

${}_{RL}{D}^{\alpha }{t}^0=\frac{t^{-\frac{1}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}=\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$

Temos que a derivada de ordem não-inteira de Riemann-Liouville de uma constante não é zero.

Não localidade

Há uma diferença importantíssima entre o operador diferencial de ordem inteira e o operador diferencial fracionário de Riemann-Liouville, o primeiro é um operador local e o segundo, não .

Aplicação: Abel e a curva tautocrônica

Uma das soluções para Curva tautocrônica foi proposta por Niels Henrik Abel, em 1823, que é considerada a primeira aplicação do cálculo fracionário e baseia-se exatamente na derivada fracionária de Riemann-Liouville de ordem $\frac{1}{2}$ .