Distribuição de Bernoulli

Predefinição:Sem fontes Predefinição:Info/Distribuições de probabilidade Na área de teoria das probabilidades e estatística, a distribuição de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso $p$ e valor 0 com a probabilidade de falha $q=1-p$.

Propriedades

Se $X$ é uma variável aleatória com essa distribuição, teremos:

$P(X=1)=1-P(X=0)=1-q=p.$

Um exemplo clássico de uma experiência de Bernoulli é uma jogada única de uma moeda. A moeda pode dar "coroa" com probabilidade $p$ e "cara" com probabilidade $1-p$. A experiência é dita justa se $p=0.5$, indicando a origem dessa terminologia em jogos de aposta (a aposta é justa se ambos os possíveis resultados tem a mesma probabilidade).

A [função de probabilidade] $f$ dessa distribuição é

$f(k;p)=\{\begin{array}{cc}p& \text{se }k=1,\\ 1-p& \text{se }k=0.\end{array}$

Também pode ser expresso como

$f(k;p)=p^k(1-p{)}^{1-k}\text{para }k\in \{0,1\}.$

O valor esperado de uma variável aleatória de Bernoulli $X$ é $E\left(X\right)=p$, e sua variância é

$\text{Var}\left(X\right)=p(1-p).$

A distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição Binomial, com $n=1$.

A curtose vai até o infinito para grandes e pequenos valores de $p$, mas para $p=1/2$ a distribuição de Bernoulli tem um excesso de curtose mais baixo que qualquer outra distribuição de probabilidade (-2).

As distribuições de Bernoulli para $0\le p\le 1$ formam uma família exponiencial.

O estimador de máxima verossimilhança de $p$ baseada em uma amostra aleatória é a média amostral.

Distribuições relacionadas

• Se $X_1,X_2,\dots ,X_n$ são n distribuições de Bernoulli independentes com o mesmo parâmetro p, então sua soma $X=\mathrm{\Sigma }{X}_i$ é a distribuição binomial $\text{Binomial}(n,p)$.
• A distribuição categórica é a generalização da distribuição de Bernoulli para variáveis com qualquer quantidade constante de valores discretos.
• A distribuição beta é o conjugado a priori da distribuição de Bernoulli.
• A distribuição geométrica modela o número de experimentos de Bernoulli independentes e idênticos necessários para conseguir um sucesso.

Ver também

• Processo de Bernoulli