Distribuição de Dirichlet

Na probabilidade e estatística, a Distribuição de Dirichlet (nome em homenagem à Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), frequentemente representada por Dir(α), é uma distribuição discreta multivaridada com um parâmetro (vetorial) α não-negativo e real.

Em análises Bayesianas, a distribuição de Dirichlet é usada como a distribuição conjugada da distribuição multinomial, ou seja, se a distribuição a priori é uma distribuição de Dirichlet e a variável observada é uma multinominal, então a distribuição a posteriori será uma distribuição de Dirichlet (com outro parâmetro).

Função de densidade das probabilidades

A função de densidade das probabilidades da distribuição de Dirichlet de ordem K são as seguintes:

$f(x_1,\dots ,x_K;{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K)=\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha )}\prod _{i=1}^K{x}_i^{{\alpha }_i-1}$

Onde $x_i\ge 0$, $\sum _{i=1}^K{x}_i=1$, e ${\alpha }_i>0$.

A normalização constante é a multinomial função beta, que podem ser expressos nos termos da função gama:

$\mathrm{B}(\alpha )=\frac{\prod _{i=1}^K\mathrm{\Gamma }({\alpha }_i)}{\mathrm{\Gamma }\left(\sum _{i=1}^K{\alpha }_i\right)}.$

Propriedades

se $X=(X_1,\dots ,X_K)\sim \mathrm{Dir}(\alpha )$ e ${\alpha }_0=\sum _{i=1}^K{\alpha }_i$. então:

$\mathrm{E}[X_i|\alpha ]=\frac{{\alpha }_i}{{\alpha }_0},$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X_i|\alpha ]=\frac{{\alpha }_i({\alpha }_0-{\alpha }_i)}{{\alpha }_0^2({\alpha }_0+1)}=\frac{\mathrm{E}[X_i|\alpha ](1-\mathrm{E}[X_i|\alpha ])}{({\alpha }_0+1)}.$

De fato, essa é uma das propriedades da distribuição beta:

$X_i\sim \mathrm{Beta}({\alpha }_i,{\alpha }_0-{\alpha }_i).$

Além disso:

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}[X_i{X}_j|\alpha ]=\frac{-{\alpha }_i{\alpha }_j}{{\alpha }_0^2({\alpha }_0+1)}.$

A maneira de distribuição resulta em um vetor (x₁, ..., x_K) com:

$x_i=\frac{{\alpha }_i-1}{{\alpha }_0-K},{\alpha }_i>1.$

A distribuição de Dirichlet é conjugada como uma distribuição multinomial com a seguinte lógica: se

$\beta |X=({\beta }_1,\dots ,{\beta }_K)|X\sim \mathrm{Mult}(X),$

Onde β_i São ocorrências dos números i na amostra de n Pontos na discreta distribuição de {1, ..., K} definida por X, então:

$X|\beta \sim \mathrm{Dir}(\alpha +\beta ).$

A relação usada nas estatísticas Bayesiana para descobrir o valor das incógnitas, X, de uma distribuição oculta de probabilidades, dada por n amostras. Intuitivamente, a distribuição prior representada como Dir(α), sendo Dir(α + β) resulta em uma distribuição posterior observadas com o historiograma β.

Neutralidade

(ver artigo principal: Vetor Neutro).

se $X=(X_1,\dots ,X_K)\sim \mathrm{Dir}(\alpha )$, então o vetor ~$X$ será neutro se o sentido de $X_1$ for independente de $X_2/(1-X_1),X_3/(1-X_1),\dots ,X_K/(1-X_1)$ e similar à $X_2,\dots ,X_{K-1}$.

Ver também

• Distribuição beta

Notas

1. Disformização variável,por Luc Devroye

Ligações externas

• Predefinição:FiEstudos da Distribuição de Dirichlet
• Predefinição:EnCalculando os parâmetros da distribuição de Dirichlet
• SciencesPo: Pacote do R que contém funcões para simulação dos parâmetros da distribuição de Dirichlet.