Distribuição F de Fisher-Snedecor

Predefinição:Info/Distribuições de probabilidade Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição F de Fisher-Snedecor, também conhecida como distribuição F, distribuição F de Fisher e distribuição F de Snedecor, em homenagem ao biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher e ao matemático norte-americano George Waddel Snedecor,^[1] é uma distribuição de probabilidade contínua que surge frequentemente como a distribuição nula da estatística de um teste, mais notadamente na análise de variância, como no teste F.^[2]^[3]^[4]^[5]

Definição

Se uma variável aleatória $X$ tiver uma distribuição F com parâmetros $d_{1}$ e $d_{2}$ , escrevemos $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ . Então, a função densidade de probabilidade de $X$ é dada por

\begin{matrix} f (x; d_{1}, d_{2}) & = \frac{\sqrt{\frac{(d_{1} x)^{d_{1}} d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1} x + d_{2})^{d_{1} + d_{2}}}}}{x B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} \\ = \frac{1}{B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} {(\frac{d_{1}}{d_{2}})}^{\frac{d_{1}}{2}} x^{\frac{d_{1}}{2} - 1} {(1 + \frac{d_{1}}{d_{2}} x)}^{- \frac{d_{1} + d_{2}}{2}} \end{matrix}

para $x$ real e maior que zero. Aqui, $B$ é uma função beta. Em muitas aplicações, os parâmetros $d_{1}$ e $d_{2}$ são números inteiros positivos, mas a distribuição é bem definida para valores reais positivos destes parâmetros.

A função distribuição acumulada é

F (x; d_{1}, d_{2}) = I_{\frac{d_{1} x}{d_{1} x + d_{2}}} (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2}),

em que $I$ é a função beta incompleta regularizada.

O valor esperado, a variância e outros detalhes sobre $F (d_{1}, d_{2})$ são dados na caixa ao lado. Para $d_{2} > 8$ , a curtose de excesso é

γ_{2} = 12 \frac{d_{1} (5 d_{2} - 22) (d_{1} + d_{2} - 2) + (d_{2} - 4) (d_{2} - 2)^{2}}{d_{1} (d_{2} - 6) (d_{2} - 8) (d_{1} + d_{2} - 2)}

.

O $k$ -ésimo momento de uma distribuição $F (d_{1}, d_{2})$ existe e é finita somente quando $2 k < d_{2}$ e é igual a^[6]

μ_{X} (k) = {(\frac{d_{2}}{d_{1}})}^{k} \frac{Γ (\frac{d_{1}}{2} + k)}{Γ (\frac{d_{1}}{2})} \frac{Γ (\frac{d_{2}}{2} - k)}{Γ (\frac{d_{2}}{2})}

A distribuição F é uma parametrização particular da distribuição beta prima, também chamada de distribuição beta de segundo tipo.

A função característica é^[7]

φ_{d_{1}, d_{2}}^{F} (s) = \frac{Γ (\frac{d_{1} + d_{2}}{2})}{Γ (\frac{d_{2}}{2})} U (\frac{d_{1}}{2}, 1 - \frac{d_{2}}{2}, - \frac{d_{2}}{d_{1}} ı s)

em que $U (a, b, z)$ é a função hipergeométrica confluente do segundo tipo.

Caracterização

O valor observado de uma variável aleatória de distribuição F com parâmetros $d_{1}$ e $d_{2}$ surge como a razão de dois valores observados de distribuição qui-quadrado apropriadamente escalados:^[8]

X = \frac{U_{1} / d_{1}}{U_{2} / d_{2}}

em que

$U_{1}$ e $U_{2}$ têm distribuições qui-quadrado com graus de liberdade $d_{1}$ e $d_{2}$ respectivamente e
$U_{1}$ e $U_{2}$ são independentes.

Em instâncias em que a distribuição F é usada, por exemplo, na análise de variância, a independência de $U_{1}$ e $U_{2}$ pode ser demonstrada pela aplicação do teorema de Cochran.

Equivalentemente, a variável aleatória da distribuição F também pode ser escrita como

X = \frac{s_{1}^{2}}{σ_{1}^{2}} / \frac{s_{2}^{2}}{σ_{2}^{2}}

em que $s_{1}^{2}$ e $s_{2}^{2}$ são as somas dos quadrados $S_{1}^{2}$ e $S_{2}^{2}$ de dois processos normais com variâncias $σ_{1}^{2}$ e $σ_{2}^{2}$ divididas pelo número correspondente de $χ^{2}$ graus de liberdades. $d_{1}$ e $d_{2}$ são respectivamente $s_{1}^{2} = \frac{S_{1}^{2}}{d_{1}}$ e $s_{2}^{2} = \frac{S_{2}^{2}}{d_{2}}$ .

Em um contexto frequencista, uma distribuição F escalada dá portanto a probabilidade $p (s_{1}^{2} / s_{2}^{2} | σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2})$ , ela própria com distribuição F, sem qualquer escala, o que se aplica onde $σ_{1}^{2}$ é igual $σ_{2}^{2}$ . Este é o contexto em que a distribuição F aparece de forma mais generalizada em testes F: em que a hipótese nula é de que duas variâncias normais independentes são iguais e as somas observadas de alguns quadrados apropriadamente selecionados são então examinadas a fim de verificar se sua razão é significantemente incompatível com esta hipótese nula.

A quantidade $X$ tem a mesma distribuição na estatística bayesiana, se um método de Jeffreys não informativo, de rescalamento invariante for tomado para as probabilidades a priori de $σ_{1}^{2}$ e $σ_{2}^{2}$ .^[9] Neste contexto, uma distribuição F escalada dá assim a probabilidade a posteriori $p (σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2} | s_{1}^{2} / s_{2}^{2})$ , em que as somas agora observadas $s_{1}^{2}$ e $s_{2}^{2}$ são tomadas como conhecidas.

De forma geral, resumida e simplificada, a distribuição F tem como características básicas:

É uma família de curvas, cada uma, determinada por dois tipos de graus de liberdade, os correspondentes à variância no numerador, e os que correspondem à variância no denominador.
É uma distribuição positivamente assimétrica.
A área total sob cada curva de uma distribuição F é igual a 1.
Todos os valores de X são maiores ou iguais a 0.
Para todas as distribuições F, o valor médio de X é aproximadamente igual a 1.^[10]

Equação diferencial

A função densidade de probabilidade da distribuição F é uma solução da seguinte equação diferencial:

{\begin{matrix} 2 x (d_{1} x + d_{2}) f^{'} (x) + (2 d_{1} x + d_{2} d_{1} x - d_{2} d_{1} + 2 d_{2}) f (x) = 0, \\ f (1) = \frac{d_{1}^{\frac{d_{1}}{2}} d_{2}^{\frac{d_{2}}{2}} (d_{1} + d_{2})^{\frac{1}{2} (- d_{1} - d_{2})}}{B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} \end{matrix}}

Propriedades e distribuições relacionadas

Se $X \sim χ_{d_{1}}^{2}$ e $Y \sim χ_{d_{2}}^{2}$ forem independentes, então $\frac{X / d_{1}}{Y / d_{2}} \sim F (d_{1}, d_{2})$ ;
Se $X_{k} \sim Γ (α_{k}, β_{k})$ forem independentes, então $\frac{α_{2} β_{1} X_{1}}{α_{1} β_{2} X_{2}} \sim F (2 α_{1}, 2 α_{2})$ ;
Se $X \sim Beta (d_{1} / 2, d_{2} / 2)$ (distribuição beta), então $\frac{d_{2} X}{d_{1} (1 - X)} \sim F (d_{1}, d_{2})$ ;
Equivalentemente, se $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ , então $\frac{d_{1} X / d_{2}}{1 + d_{1} X / d_{2}} \sim Beta (d_{1} / 2, d_{2} / 2)$ ;
Se $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ , então $Y = \lim_{d_{2} \to \infty} d_{1} X$ tem a distribuição qui-quadrado $χ_{d_{1}}^{2}$ ;
$F (d_{1}, d_{2})$ é equivalente a distribuição T-quadrado de Hotelling escalada $\frac{d_{2}}{d_{1} (d_{1} + d_{2} - 1)} T^{2} (d_{1}, d_{1} + d_{2} - 1)$ ;
Se $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ , então $X^{- 1} \sim F (d_{2}, d_{1})$ ;
Se $X \sim t (n)$ (distribuição t de Student), então:

X^{2} \sim F (1, n)

X^{- 2} \sim F (n, 1)

A distribuição F é um caso especial de distribuição de Pearson de tipo 6;
Se $X$ e $Y$ forem independentes com $X, Y \sim L a p l a c e (μ, b)$ , então:

\frac{| X - μ |}{| Y - μ |} \sim F (2, 2)

;

Se $X \sim F (n, m)$ , então $\frac{\log X}{2} \sim FisherZ (n, m)$ (distribuição z de Fisher);
A distribuição F não central simplifica à distribuição F se $λ = 0$ ;
A distribuição F não central dupla simplifica à distribuição F se $λ_{1} = λ_{2} = 0$ ;
Se $Q_{X} (p)$ for o quantil $p$ para $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ e $Q_{Y} (1 - p)$ for o quantil $1 - p$ para $Y \sim F (d_{2}, d_{1})$ , então

Q_{X} (p) = \frac{1}{Q_{Y} (1 - p)}

.

Ver também

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[3]

[4]

[5]

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[10]

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Caracterização

Equação diferencial

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