Equação diferencial ordinária de primeira ordem

Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

• $\frac{dx}{dt}=f(x,t),t\in D$

onde $f(x,t)$ é dada e a incógnita é a função $x(t)$. O domínio $D$ pode ser um intervalo ou a reta real inteira.

Quando a função $f(x,t)$ não depende explicitamente sobre a variável independente $t$ e o problema pode ser escrito na seguinte forma:

• $\frac{dx}{dt}=f(x),t\in D$

então diz-se que se trata de um sistema autônomo de primeira ordem.

Exemplos

Equação	Solução	Domínio
$\frac{dx}{dt}=t$	$x(t)=\frac{t^2}{2}+C$	$t\in ℝ$
$\frac{dx}{dt}=x$	$x(t)=C{e}^t$	$t\in ℝ$
$\frac{dx}{dt}=xt$	$x(t)=C{e}^{t^2/2}$	$t\in ℝ$
$\frac{dx}{dt}=x^2$	$x(t)=\frac{1}{C-t}$	$t\in ℝ\mathrm{\setminus }\{C\}$

Em todos os casos a constante de integração $C$ é arbitrária

O problema de valor inicial

O problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função $x(t)$ que satisfaz a equação diferencial dada e assume a condição inicial no ponto inicial do intervalo:

• $\{\begin{array}{ccc}\frac{dx(t)}{dt}& =& f(x,t),x>t_0\\ x(t_0)& =& u_0\end{array}$

Exemplo

• $\{\begin{array}{ccc}\frac{dx(t)}{dt}& =& x,t>0\\ x(t=0)& =& 1\end{array}$

A (única) solução desta equação diferencial é dada por

• $x(t)=e^t$

O teorema de Picard-Lindelöf

Predefinição:Artigo principal O teorema de Picard-Lindelöf estabelece a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de $t_0$ para o problema de valor inicial:

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t),t)\\ x(t_0)=x_0\end{array}$

onde $f(x,t)$ é uma função contínua na variável $t$ e Lipschitz contínua na variável $x$.

O problema de valores contorno

O problema de valores de contorno para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função $x(t)$ que satisfaz a equação diferencial dada em um intervalo $[t_0,t_1]$ e cujos valores nos extremos $t_0$ e $t_1$ satisfazem uma condição dada:

• $\{\begin{array}{ccc}\frac{dx(t)}{dt}& =& f(x,t),x>t_0\\ B(x(t_0),x(t_1))& =& 0\end{array}$

Exemplo

• $\{\begin{array}{ccc}\frac{dx(t)}{dt}& =& x,t>0\\ x(0)-2x(1)& =& 1\end{array}$

A (única) solução desta equação diferencial é dada por

• $x(t)=\frac{e^t}{1-2e}$

Equação linear

O caso linear acontece quando a função $f(x,t)$ é da seguinte forma:

• $f(x,t)=\varphi (t)+x\psi (t)$

A equação fica, então:

• $\frac{dx(t)}{dt}-x(t)\psi (t)=\varphi (t)$

Esta equação pode ser resolvida multiplicando pelo fator integrante:

• $(\frac{dx(t)}{dt}-x(t)\psi (t))e^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\psi (\tau )d\tau }=\varphi (t)e^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\psi (\tau )d\tau }$
• $\frac{d}{dt}(x(t)e^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\psi (\tau )d\tau })=\varphi (t)e^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\psi (\tau )d\tau }$

então, integrando, temos:

• $x(t)e^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\psi (\tau )d\tau }=x(0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\varphi (s)e^{-\underset{0}{\overset{s}{\int }}\psi (\tau )d\tau }ds$

ou, equivalentemente:

• $x(t)=x(0)e^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}\psi (\tau )d\tau }+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\varphi (s)e^{\underset{s}{\overset{t}{\int }}\psi (\tau )d\tau }ds$

Equações de variáveis separáveis

Uma equação é designada de variáveis separáveis, se puder ser escrita na forma:

$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}$

Para resolver este tipo de equação primeiro observemos que a primitiva da função $g(y)$ pode ser calculada da seguinte forma

$\int g(y)dy=\int g(y(x))\frac{dy}{dx}dx$

A equação diferencial pode ser escrita como

$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$

e a primitiva em ordem a $x$ do lado esquerdo é igual à primitiva em ordem a $y$ de $g(y)$ como acabamos de ver

$\int g(y)dy=\int f(x)dx+c$

As equações do tipo

$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$

onde $a$ e $b$ são constantes, não são equações de variáveis separáveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituição

$v=ax+by+c⟹\frac{dv}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}$

Equações exatas

Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis

$dF(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy$

Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função $F(x,y)$ cujas derivadas parciais são iguais a $M(x,y)$ e $N(x,y)$. No entanto, a segunda derivada parcial de $F$ seria

$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}y=\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

Assim, para que a conjetura da existência da função $F(x,y)$ seja consistente, é necessário que as funções $M$ e $N$ verifiquem a seguinte condição

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

nesse caso diz-se que a equação é uma equação exata e pode ser escrita como

$dF(x,y)=0$

sendo a sua solução geral

$F(x,y)=c$

A função $F$ calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a $M(x,y)$ e $N(x,y)$.

Equações homogêneas

Uma equação de primeira ordem diz-se homogénea se tiver a seguinte forma geral

$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$

para resolver este tipo de equação usa-se a substituição

$v=\frac{y}{x}⟹\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$

a qual transforma a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma $f(y/x)$ observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de $x$ mais o expoente de $y$) os quais deverão ser iguais. Por exemplo das duas funções seguintes a primeira tem a forma $f(y/x)$ mas a segunda não

$\frac{x{y}^2-x^3}{y{x}^2}\frac{xy+y}{2+x}$

Existem outras equações que podem ser reduzidas a equações homogêneas. Um exemplo típico é a equação

$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)$

onde $a,bc,p,q$ e $r$ são constantes dadas. Se as constantes $c$ e $r$ fossem nulas, a equação seria homogênea; definimos um novo sistema de coordenadas $(u,v)$ para substituir $(x,y)$, de forma a obter

$\begin{array}{ccc}ax+by+c& =& au+bv\\ px+qy+r& =& pu+qv\end{array}$

ou de forma equivalente

$\begin{array}{c}a(x-u)+b(y-v)=-c\\ p(x-u)+q(y-v)=-r\end{array}$

a solução deste sistema de equações lineares pode ser obtido por meio da regra de Cramer

$x-u=\frac{\left|\begin{array}{cc}-c& b\\ -r& q\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ p& q\end{array}\right|}y-v=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& -c\\ p& -r\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ p& q\end{array}\right|}$

como os lados direitos da equação e da equação são constantes, também temos que $dx=du$, $dy=dv$ e a equação diferencial transforma-se numa equação homogênea

$\frac{dv}{du}=f\left(\frac{au+bv}{pu+qv}\right)$

Não-unicidade de soluções

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem admitem duas soluções distintas que satisfazem a mesma condição inicial. Um exemplo simples de um equação que apresenta esse fenômeno é seguinte:

$\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}=\sqrt{x},t>0\\ x(0)=0\end{array}$

Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:

$\begin{array}{cccc}x(t)& =& 0,& 0\le t\le t_0\\ x(t)& =& \frac{t^2}{4},& t\ge 0\end{array}$

aqui $t_0$ é uma constante positiva qualquer.

Divergência em tempo finito

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem apresentam uma solução que diverge em tempo finito. Um exemplo é a seguinte equação:

$\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}=x^2,t>0\\ x(0)=1\end{array}$

Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:

$x(t)=\frac{1}{1-t},0\le t<1$

Ver também

• Retrato de fase

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, First-Order Ordinary Differential Equation no MathWorld.