Equilíbrio de motores de combustão interna

Em um motor a pistão, as massas em movimento alternativo produzem forças de inércia que quando não adequadamente tratadas provocam vibrações.

Cinemática de um Sistema Biela Manivela

Diagrama de um sistema biela manivela

Definições

l = comprimento da biela
r = raio do eixo de manivelas (metade do curso)
Θ = ângulo da manivela em relação a linha de centro do cilindro
x = Posição do pistão
v = Velocidade do pistão
a = Aceleração do pistão
ω = Velocidade angular do eixo de manivelas

Descrição

Conforme o eixo de manivelas gira, o pistão P se desloca ao longo do eixo do centro do cilindro executando um movimento alternativo. A partir do Ponto Morto Superior (PMS), o pistão acelera até atingir a velocidade máxima, quando então começa a desacelerar até atingir o Ponto Morto Inferior (PMI), quando então inverte a trajetória.

Velocidade Angular

A velocidade angular (rad/s) pode ser calculada a partir do número de rotações por minuto (RPM):

$\omega =\frac{2\pi \cdot RPM}{60}$

Posição

A aplicação da lei dos cossenos ao diagrama fornece a posição do pistão:

$l^2=r^2+x^2-2rx\cos \theta$

$x^2-2xr\cos \theta +(r^2-l^2)=0$

Fazendo

$y=r\cos \theta$

$z=(r^2-l^2)$

temos:

$x^2-2xy+z=0$

Resolvendo pela formula quadrática e substituindo de volta y e z, temos:

$x=r\cos \theta +\sqrt{l^2-r^2{\sin }^2\theta }$

expressando em termos da velocidade angular, temos:

$\theta =\omega t$

$x=r\cos (\omega t)+\sqrt{l^2-r^2{\sin }^2(\omega t)}=r[\cos (\omega t)+\sqrt{{\left(\frac{l}{r}\right)}^2-{\sin }^2(\omega t)}]$

Velocidade

A primeira derivada da equação da posição fornece a velocidade do pistão:

$v=\frac{dx}{dt}=-r\omega \sin (\omega t)[1+\frac{\cos (\omega t)}{\sqrt{{\left(\frac{l}{r}\right)}^2-{\sin }^2(\omega t)}}]$

Na grande maioria dos casos $r\le \frac{l}{3}$, fazendo com que $r^2{\sin }^2(\omega t)$ seja muito pequeno, podendo ser ignorado:

$v=-r\omega \sin (\omega t)-\frac{r^2\omega \sin (2\omega t)}{2l}$

Aceleração

A derivada da velocidade fornece a aceleração do pistão:

$a=\frac{dv}{dt}=-r{\omega }^2\{\cos (\omega t)+\frac{\cos (2\omega t)}{{[{\left(\frac{l}{r}\right)}^2-si{n}^2(\omega t)]}^{1/2}}+\frac{{\sin }^2(\omega t)co{s}^2(\omega t)}{{[{\left(\frac{l}{r}\right)}^2-si{n}^2(\omega t)]}^{3/2}}\}$

Para $r\le \frac{l}{3}$, (e considerando $l>>r\sin (\omega t)$), a derivada fica:

$a=\frac{dv}{dt}=-r{\omega }^2\cos (\omega t)-\frac{r^2{\omega }^2\cos (2\omega t)}{l}$

Em termos do ângulo da manivela temos:

$a=-r{\omega }^2\cos \theta -\frac{r^2{\omega }^2\cos (2\theta )}{l}$

Rearranjando:

$a=-r{\omega }^2[\cos \theta +\frac{r}{l}\cos (2\theta )]$

Dinâmica de um Motor com Cilindros em Linha

As massas em movimento alternativo produzem forças de inércia e binários, que se não forem equilibrados, irão gerar vibrações
.

Forças de Inércia

Se m é a massa das partes em movimento alternativo (pistão e parte da biela), a força de inércia é igual a:

$F=mr{\omega }^2[\cos (\theta )+\frac{r}{l}\cos (2\theta )]$

$F=F_p+F_s$

onde
$F_p=mr{\omega }^2\cos (\theta )$ é a força primeira ordem, com frequência igual à rotação do motor e $F_s=mr{\omega }^2\frac{r}{l}\cos (2\theta )$ é a força de segunda ordem, com frequência igual a 2 vezes a rotação do motor.

Equilíbrio de Motores Multicilíndricos em Linha

Em um motor de n cilindros em linha com ignição igualmente espaçada, o intervalo $\varphi$ entre as explosões é igual a:

$\varphi =\frac{360}{n}$ em motores de 2 tempos e

$\varphi =\frac{720}{n}$ em motores de 4 tempos.

A força de inércia de cada pistão é dada por:

$F_1=mr{\omega }^2[\cos (\theta +{\varphi }_1)+\frac{r}{l}\cos 2(\theta +{\varphi }_1)]$

$F_2=mr{\omega }^2[\cos (\theta +{\varphi }_2)+\frac{r}{l}\cos 2(\theta +{\varphi }_2)]$

e assim por adiante.

$F_i=mr{\omega }^2[\cos (\theta +{\varphi }_i)+\frac{r}{l}\cos 2(\theta +{\varphi }_i)]$

A soma total das forças de inércia é então igual a:

$F=\sum _{i=1}^n{F}_i=mr{\omega }^2\sum _{i=1}^n[\cos (\theta +{\varphi }_i)+\frac{r}{l}\cos 2(\theta +{\varphi }_i)]$

mas

$\cos (\theta +{\varphi }_i)=\cos \theta \cdot \cos {\varphi }_i-\sin \theta \cdot \sin {\varphi }_i$

Substituindo temos:

$F=m{\omega }^{2}r[\cos \theta \sum _{i=1}^n\cos {\varphi }_i-\sin \theta \sum _{i=1}^n\sin {\varphi }_i+\frac{r}{l}\cos (2\theta )\sum _{i=1}^n\cos (2{\varphi }_i)-\frac{r}{l}\sin (2\theta )\sum _{i=1}^n\mathrm{sen}(2{\varphi }_i)]$

Condições de Equilíbrio das Forças de Inércia

Equilíbrio das Forças de Primeira Ordem

$\sum _{i=1}^n\cos {\varphi }_i=0$

$\sum _{i=1}^n\sin {\varphi }_i=0$

Equilíbrio das Forças de Segunda Ordem

$\sum _{i=1}^n\cos (2{\varphi }_i)=0$

$\sum _{i=1}^n\sin (2{\varphi }_i)=0$

Condições de Equilíbrio dos Binários

O equilíbrio as forças de inércia não garante o motor não irá vibrar em decorrência da atuação de binários. Tomando como referência o cilindro número 1 e considerando d como a distancia entre os cilindros temos:

$B_1=F_1\cdot d_1$

$B_2=F_2\cdot d_2$

$B_3=F_3\cdot d_3$

e assim por diante...

$B_i=F_i\cdot d_i$

Se fizermos B igual a soma dos binários temos:

$B=\sum _{i=1}^n{F}_i{d}_i$

$B=m{\omega }^{2}r[\cos \theta \sum _{i=1}^n{d}_i\cos {\varphi }_i-\sin \theta \sum _{i=1}^n{d}_i\sin {\varphi }_i+\frac{r}{l}\cos (2\theta )\sum _{i=1}^n{d}_i\cos (2{\varphi }_i)-\frac{r}{l}\sin (2\theta )\sum _{i=1}^n{d}_i\sin (2{\varphi }_i)]$

com a parte em vermelho representando os binários de primeira ordem e a parte em azul os de segunda ordem.

As condições de equilíbrio dos binários podem então ser escrita como:

Binários de primeira ordem

$\sum _{i=1}^n{d}_i\cos {\varphi }_i=0$

$\sum _{i=1}^n{d}_i\sin {\varphi }_i=0$

Binários de segunda ordem

$\sum _{i=1}^n{d}_i\cos (2{\varphi }_i)=0$

$\sum _{i=1}^n{d}_i\sin (2{\varphi }_i)=0$

Efeitos sobre o motor

Dependendo da existência de forças de inércia ou de binários teremos os seguintes efeitos sobre o motor:

$F=0\wedge M=0\Rightarrow$ Completamente equilibrado

$F\ne 0\wedge M=0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por força de inércia

$F=0\wedge M\ne 0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por binário

$F\ne 0\wedge M\ne 0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia $L$ do ponto de atuação da força em relação ao plano de referência é dada por $L=\frac{B}{F}$

Exemplo: Motor de três cilindros em linha - quatro tempos

$\varphi =\frac{720}{3}=240^0$

Ordem de ignição: 1,3,2

Tabela de Equilíbrio

Tabela de equilibrio

Φ	Inércia 1a ordem cosΦ	Inércia 1a ordem senΦ	2Φ	Inércia 2a ordem cos2Φ	Inércia 2a ordem sen2Φ	d	Binário 1a ordem dcosΦ	Binário 1a ordem dsenΦ	Binário 2a ordem dcos2Φ	Binário 2a ordem dsen2Φ
0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
240	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	480	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	2d	$-d$	$-d\sqrt{3}$	$-d$	$d\sqrt{3}$
120	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	240	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	d	$-\frac{d}{2}$	$d\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{d}{2}$	$-d\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sum$	$0$	$0$		$0$	$0$		$-\frac{3}{2}d$	$-d\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{3}{2}d$	$d\frac{\sqrt{3}}{2}$

Força de inércia de primeira ordem: equilibrado
Força de inércia de segunda ordem: equilibrado
Binário de primeira ordem: desequilibrado
Binário de segunda ordem: desequilibrado

Binário de primeira ordem

$B_p=m{\omega }^{2}r[\cos \theta \sum _{i=1}^n{d}_i\cos {\varphi }_i-\sin \theta \sum _{i=1}^n{d}_i\sin {\varphi }_i]$

$B_p=m{\omega }^{2}r[-\frac{3d}{2}\cos \theta +\frac{d\sqrt{3}}{2}\sin \theta ]$

$B_p=m{\omega }^{2}r\frac{d}{2}[-3\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta ]$

Sendo

$acos\alpha +bsen\alpha =\sqrt{a^2+b^2}sen(\alpha +\varphi )$

$a\cos \alpha -b\sin \alpha =-\sqrt{a^2+b^2}\sin (\alpha -\varphi )$

$\tan \varphi =\frac{a}{b}$

Temos

$-3\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta =\sqrt{9+3}\sin (\alpha +\varphi )=\sqrt{4\cdot 3}\sin (\alpha +\varphi )=2\sqrt{3}\sin (\alpha +\varphi )$

$\tan \varphi =\frac{-3}{\sqrt{3}}=\frac{-3\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3}$

Portanto

$\varphi =-60$

e o binário de primeira ordem é igual a:

$B_p=\sqrt{3}m{\omega }^{2}rd\sin (\theta -60)$

O valor máximo do binário ocorrerá quando $\sin (\theta -60)=1$,ou seja, quando $\theta =150$ graus.

Binário de segunda ordem ordem

$B_s=m{\omega }^{2}r[\frac{r}{l}\cos (2\theta )\sum _{i=1}^n{d}_i\cos (2{\varphi }_i)-\frac{r}{l}\sin (2\theta )\sum _{i=1}^n{d}_i\sin 2{\varphi }_i]$

$B_s=\frac{r}{l}m{\omega }^{2}r[-\frac{3d}{2}\cos (2\theta )-\frac{d\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta ]$

$B_s=\frac{r}{l}m{\omega }^{2}r\frac{d}{2}[-3\cos (2\theta )-\sqrt{3}\sin 2\theta ]$

$B_s=-\sqrt{3}\frac{r}{l}m{\omega }^{2}rd\sin (2\theta +60)$

Exemplo: Motor de quatro cilindros em linha - quatro tempos

$\varphi =\frac{720}{4}=180^0$

Ordem de ignição: 1,3,4,2

Tabela de Equilíbrio

Tabela de equilibrio

Φ	Inércia 1a ordem cosΦ	Inércia 1a ordem senΦ	2Φ	Inércia 2a ordem cos2Φ	Inércia 2a ordem sen2Φ	d	Binário 1a ordem dcosΦ	Binário 1a ordem dsenΦ	Binário 2a ordem dcos2Φ	Binário 2a ordem dsen2Φ
0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
180	$-1$	$0$	360	$1$	$0$	2d	$-2d$	$0$	$2d$	$0$
0	1	0	0	1	0	3d	3d	0	3d	0
180	$-1$	$0$	360	$1$	$0$	d	$-d$	$0$	$d$	$0$
$\sum$	$0$	$0$		$4$	$0$		$0$	$0$	$6d$	$0$

Força de inércia de segunda ordem

$F=m{\omega }^{2}r[\frac{r}{l}\cos (2\theta )\sum _{i=1}^n\cos (2{\varphi }_i)-\frac{r}{l}\sin (2\theta )\sum _{i=1}^n\sin (2{\varphi }_i)]$

Substituindo temos:

$F=m{\omega }^{2}r[4\frac{r}{l}\cos (2\theta )]$

$F=4\frac{r}{l}m{\omega }^{2}r\cos (2\theta )$

Como

$F\ne 0\wedge M\ne 0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia $L$ do ponto de atuação da força em relação ao cilindro numero 1 é dada por $L=\frac{6d}{4}=1,5d$

Ver também

• Motor de combustão interna