Espaço de Bochner

Em matemática, os espaços de Bochner são uma generalização do conceito de espaços $L^p$ para funções cujos valores estão em um espaço de Banach que não é necessariamente o espaço $ℝ$ ou $ℂ$ de números reais ou complexos. O espaço $L^p(X)$ consiste em (classes de equivalência de) todas as funções mensuráveis de Bochner $f$ com valores no espaço Banach $X$ cuja norma $\Vert f{\Vert }_X$ encontra-se no padrão espaço $L^p$. Portanto, se $X$ é o conjunto de números complexos, é o Lebesgue padrão espaço $L^p$.

Quase todos os resultados padrão em espaços $L^p$ também se mantêm nos espaços Bochner; em particular, os espaços Bochne $L^p(X)$ são espaços de Banach para $1\le p\le \mathrm{\infty }.$ Os espaços de Bochner são nomeados em homenagem ao matemático Salomon Bochner.

Definição

Dado um espaço de medida $(T,\mathrm{\Sigma };\mu ),$ um espaço Banach $(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)$ e $1\le p\le \mathrm{\infty },$ o espaço de Bochner $L^p(T;X)$ é definido como o quociente de Kolmogorov (por igualdade em quase todos os lugares) do espaço de todas as funções mensuráveis de Bochner $u:T\to X$ de modo que a norma correspondente é finita:$$\Vert u{\Vert }_{L^p(T;X)}:={(\underset{T}{\int }\Vert u(t){\Vert }_X^p\mathrm{d}\mu (t))}^{1/p}<+\mathrm{\infty }\text{ for }1\le p<\mathrm{\infty },$$ $$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(T;X)}:={\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}_{t\in T}\Vert u(t){\Vert }_X<+\mathrm{\infty }.$$

Em outras palavras, como é comum no estudo de espaços $L^p$, $L^p(T;X)$ é um espaço de classes de equivalência de funções, onde duas funções são definidas para serem equivalentes se forem iguais em todos os lugares, exceto em um $\mu$-medir subconjunto zero de $T.$ Como também é usual no estudo de tais espaços, é comum abusar da notação e falar de uma "função" em $L^p(T;X)$ em vez de uma classe de equivalência (o que seria mais tecnicamente correto).