Fibrado vetorial

Em topologia diferencial, um fibrado vetorial é um espaço topológico que é uma associação de um espaço vetorial a cada ponto de outro espaço topológico (mais simples), satisfazendo determinadas propriedades que ligam a estrutura dos espaços topológicos aos espaços vetoriais.

Ao espaço topológico mais simples chama-se base, a cada espaço vectorial uma fibra e à união de todas as fibras o espaço total do fibrado.

Essencialmente, a propriedade para ligar a base às fibras é que, localmente, o fibrado vectorial seja muito parecido com um cilindro, ou seja, para cada ponto x do espaço topológico exista uma vizinhança U de x no espaço topológico tal que U x o espaço vetorial seja homeomorfo a um aberto do fibrado.

Definição

Um fibrado vectorial se caracteriza por:

• Um espaço topológico E (chamado espaço total, por abuso de linguagem, às vezes chamado de o próprio fibrado vetorial)
• Um espaço topológico X (chamado de base)
• Uma projeção contínua $\pi :E\to X$
• Para todo $x\in X$, uma estrutura de espaço vetorial em ${\pi }^{-1}(x)\subseteq E$

Satisfazendo o axioma:

• Para todo $x\in X$, existe uma vizinhança U de x, um número natural k e um homeomorfismo $\varphi :U\times {ℝ}^k\to {\pi }^{-1}(U)$ em que:
  • $\pi (\varphi (x,v))=x$ para todo vetor v de ${ℝ}^k$
  • a função $v\to \varphi (x,v)$ é um isomorfismo entre os espaços vetoriais ${ℝ}^k$ e ${\pi }^{-1}(x)$

Exemplos

• Se E é um espaço vetorial e X é um espaço topológico, então o produto E×X é um fibrado vetorial sobre X.
• O fibrado tangente de uma variedade diferenciável é um fibrado vetorial sobre essa variedade.