Fórmula de Dynkin

Em matemática, especificamente em processos estocásticos, a fórmula de Dynkin é um teorema que dá o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão de Itō em um tempo de parada. Pode ser vista como a generalização estocástica do (segundo) teorema fundamental do cálculo. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Eugene Dynkin.

Afirmação

Considere $X$ a difusão de Itō com valor em ${𝐑}^n$ que resolve a equação diferencial estocástica

$\mathrm{d}{X}_t=b(X_t)\mathrm{d}t+\sigma (X_t)\mathrm{d}{B}_t.$

Para um ponto $x\in$ ${𝐑}^n$, considere que ${𝐏}^x$ denota a lei de $X$, sendo o dado inicial $X_0=x$, e que ${𝐄}^x$ denota o valor esperado em relação a ${𝐏}^x$.

Considere $A$ o gerador infinitesimal de $X$, definido por sua ação em funções $C^2$compactamente suportadas (duplamente diferenciáveis com segunda derivada contínua) $f:{𝐑}^n\to 𝐑$, conforme

$Af(x)=\underset{t\downarrow 0}{\lim }\frac{{𝐄}^x[f(X_t)]-f(x)}{t}$

ou, equivalentemente,

$Af(x)=\sum _i{b}_i(x)\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)+\frac{1}{2}\sum _{i,j}(\sigma {\sigma }^{\mathrm{\top }}{)}_{i,j}(x)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x).$

Considere que $\tau$ é um tempo de parada com ${𝐄}^x[\tau ]<+\mathrm{\infty }$ e $f$ é $C^2$ com suporte compacto. Então, a fórmula de Dynkin afirma que:

${𝐄}^x[f(X_{\tau })]=f(x)+{𝐄}^x[\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}Af(X_s)\mathrm{d}s].$

Na verdade, se $\tau$ for o primeiro tempo de saída para um conjunto limitado $B\subset {𝐑}^n$ com ${𝐄}^x[\tau ]<+\mathrm{\infty }$, então, a fórmula de Dynkin se aplica para todas as funções $f$ $C^2$, sem o pressuposto do suporte compacto.

Exemplo

A fórmula de Dynkin pode ser usada para encontrar o primeiro tempo de saída esperado $t_K$ do movimento browniano $B$ da bola fechada

$K=K_R=\{x\in {𝐑}^n||x|\le R\},$

que, quando $B$ começa em um ponto $a$ no interior de $K$, é dado por

${𝐄}^a[{\tau }_K]=\frac{1}{n}(R^2-|a{|}^2).$

Escolha um número inteiro $j$. A estratégia é aplicar a fórmula de Dynkin com $X=B$, $\tau =\sigma j=\min (j,{\tau }_K)$ e uma função $f$ $C^2$ com $f(x)={\left|x\right|}^2$em $K$. O gerador do movimento browniano é $\frac{\mathrm{\Delta }}{2}$, em que $\mathrm{\Delta }$ denota o operador de Laplace. Por isso, pela fórmula de Dynkin,

${𝐄}^a\left[f\right(B_{{\sigma }_j}\left)\right]$

$=f(a)+{𝐄}^a[\underset{0}{\overset{{\sigma }_j}{\int }}\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }f(B_s)\mathrm{d}s]$

$=|a{|}^2+{𝐄}^a\left[\underset{0}{\overset{{\sigma }_j}{\int }}n\mathrm{d}s\right]$

$=|a{|}^2+n{𝐄}^a[{\sigma }_j].$

Assim, para qualquer $j$,

${𝐄}^a[{\sigma }_j]\le \frac{1}{n}(R^2-|a{|}^2).$

Agora, considere $j\to +\mathrm{\infty }$ para concluir que ${\tau }_K=\underset{j\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sigma j<+\mathrm{\infty }$ quase certamente e

${𝐄}^a[{\tau }_K]=\frac{1}{n}(R^2-|a{|}^2),$

como afirmado.