Fórmula de Tanaka

Em cálculo estocástico, a fórmula de Tanaka, que recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka, afirma que:

$|B_t|=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{sgn}(B_s)d{B}_s+L_t$

,

em

$B_t$

é o movimento browniano padrão,

$\mathrm{sgn}$

denota a função sinal

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}+1,& x>0;\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0.\end{array}$

,

e

$L_t$

é seu tempo local em 0 (o tempo local gasto por

$B$

em 0 antes do tempo

$t$

) dado pelo limite L²

$L_t=\underset{\epsilon \downarrow 0}{\lim }\frac{1}{2\epsilon }|\{s\in [0,t]|B_s\in (-\epsilon ,+\epsilon )\}|$.

Propriedades

A fórmula de Tanaka é a decomposição de Doob–Meyer explícita do submartingale $|B_t|$ na parte martingale (a integral do lado da mão direita) e em um processo contínuo crescente (tempo local). Também pode ser vista como o análogo do lema de Itō para a função modular (não suave) $f(x)=|x|$, com $f^{\prime }(x)=\mathrm{sgn}(x)$ e $f^{″}(x)=2\delta (x)$.

Descrição da prova

A função

$|x|$

não é C² em

$x$

com

$x=0$

, de modo que não podemos aplicar a fórmula de Itō diretamente. Mas, se a aproximarmos a quase zero (isto é, em

$[-\epsilon ,\epsilon ]$

) por parábolas,

$\frac{x^2}{2|\epsilon |}+\frac{|\epsilon |}{2}$

,

e, usando a fórmula de Itō, podemos então assumir o limite como

$\epsilon \to 0$

, o que leva à fórmula de Tanaka.