Grupo de permutação primitivo

Em matemática, um grupo de permutação G que atua em um conjunto finito não vazio X é chamado de primitivo se G atuar transitivamente em X e as únicas partições que a ação de G preserva são as partições triviais em um único conjunto ou em conjuntos de um único |X|. Caso contrário, se G for transitivo e preservar uma partição não trivial, G será chamada de imprimitivo.

Embora os grupos de permutação primitivos sejam transitivos, nem todos os grupos de permutação transitivos são primitivos. O exemplo mais simples é o grupo de Klein agindo nos vértices de um quadrado, que preserva a partição em diagonais. Por outro lado, se um grupo de permutação preserva apenas partições triviais, ele é transitivo, exceto no caso do grupo trivial que atua em um conjunto de dois elementos. Isso ocorre porque, para uma ação não transitiva, ou as órbitas de G formam uma partição não trivial preservada por G ou a ação do grupo é trivial e, nesse caso, todas as partições não triviais de X (que existe para |X| ≥ 3) são preservadas por G.

Essa terminologia foi introduzida por Évariste Galois em sua última carta, na qual ele usou o termo francês équation primitive para uma equação cujo grupo de Galois é primitivo.

Propriedades

Na mesma carta em que introduziu o termo “primitivo”, Galois apresentou o seguinte teorema: Predefinição:Blockquote Se o conjunto X no qual G atua for finito, sua cardinalidade será chamada de grau de G.

Um corolário desse resultado de Galois é que, se Predefinição:Mvar for um número primo ímpar, então a ordem de um grupo transitivo solucionável de grau Predefinição:Mvar é um divisor de $p(p-1).$ De fato, todo grupo transitivo de grau primo é primitivo (já que o número de elementos de uma partição fixado por Predefinição:Mvar deve ser um divisor de Predefinição:Mvar) e $p(p-1)$ é a cardinalidade do grupo afim de um espaço afim com elementos Predefinição:Mvar.

Segue-se que, se Predefinição:Mvar for um número primo maior que 3, o grupo simétrico e o grupo alternante de grau Predefinição:Mvar não são solucionáveis, pois sua ordem é maior que $p(p-1).$ O teorema de Abel-Ruffini resulta disso e do fato de que há polinômios com um grupo Galois simétrico.

Uma definição equivalente de primitividade se baseia no fato de que toda ação transitiva de um grupo G é isomórfica a uma ação decorrente da ação canônica de G no conjunto G/H de coclasses para H, um subgrupo de G. Uma ação de grupo é primitiva se for isomórfica a G/H para um subgrupo máximo H de G e imprimitiva caso contrário (ou seja, se houver um subgrupo próprio K de G do qual H seja um subgrupo próprio). Essas ações imprimitivas são exemplos de representações induzidas.

Os números de grupos primitivos de pequeno grau foram declarados por Robert Carmichael em 1937:

Grau	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Número	1	2	2	5	4	7	7	11	9	8	6	9	4	6	22	10	4	8	4	9	4	7	5	Predefinição:OEIS

Há um grande número de grupos primitivos de grau 16. Como Carmichael observa, todos esses grupos, exceto o grupo simétrico e alternado, são subgrupos do grupo afim no espaço de 4 dimensões sobre o campo finito de 2 elementos.

Exemplos

• Considerando o grupo simétrico $S_3$ agindo no conjunto $X=\{1,2,3\}$ e a permutação

$\eta =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right).$

Ambos $S_3$ e o grupo gerado pelo $\eta$ são primitivos.

• Agora considere o grupo simétrico $S_4$ agindo no conjunto $\{1,2,3,4\}$ e a permutação

$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\end{array}\right).$

O grupo gerado por $\sigma$, pois a partição $(X_1,X_2)$ onde $X_1=\{1,3\}$ e $X_2=\{2,4\}$ é preservado sob $\sigma$, isto é, $\sigma (X_1)=X_2$ e $\sigma (X_2)=X_1$.

• Todo grupo transitivo de grau primo é primitivo
• O grupo simétrico $S_n$ agindo no conjunto $\{1,\dots ,n\}$ é primitivo para cada n e o grupo altenante $A_n$ agindo no set $\{1,\dots ,n\}$ é primitivo para todo  n > 2.

• Roney-Dougal, Colva M. The primitive permutation groups of degree less than 2500, Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154–183.
• The GAP Data Library "Primitive Permutation Groups".
• Carmichael, Robert D., Introduction to the Theory of Groups of Finite Order. Ginn, Boston, 1937. Reprinted by Dover Publications, New York, 1956.
• Predefinição:MathWorld