Integração por substituição trigonométrica

Predefinição:Sem-fontes Predefinição:Cálculo A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição trigonométrica

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria $se{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$

É fácil de perceber, que as funções $se{n}^2\theta$ e $co{s}^2\theta$ podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

$$co{s}^2\theta =1-se{n}^2\theta$$

$$se{n}^2\theta =1-co{s}^2\theta$$

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por $co{s}^2\theta$ $$se{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$$

$$\frac{se{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }+\frac{co{s}^2\theta }{co{s}^2\theta }=\frac{1}{co{s}^2\theta }$$

Resultando em:

$$ta{n}^2\theta =se{c}^2\theta -1$$

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

$$1-se{n}^2\theta =co{s}^2\theta$$ para $\sqrt{a^2-x^2}$, sendo a uma constante positiva.

$$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$$ para $\sqrt{a^2+x^2}$, com a > 0

$${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta$$ para $\sqrt{x^2-a^2}$, sendo a maior do que zero, constante.

Substituição inversa

Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

$$u=\varphi (x)$$

$$x=\varphi {}^{-1}(u)$$ , $dx=[\varphi {}^{-1}{]}^{\prime }(u)du$

$$\int f(x)dx=\int f(u)[\varphi {}^{-1}{]}^{\prime }(u)du$$

Exemplo

Considere a integral $\int \sqrt{16-x^2}dx$ usando a substituição $x=4sen\theta$, obtêm-se $dx=4cos\theta d\theta$

$$\int \sqrt{16(1-se{n}^2\theta )}4cos\theta d\theta$$ $$16\int co{s}^2\theta d\theta$$

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes $$u=cos\theta ,dv=cos\theta d\theta$$ $$\int co{s}^2\theta d\theta =cos\theta sen\theta +\int se{n}^2\theta d\theta$$ $$\int co{s}^2\theta d\theta =cos\theta sen\theta +\int 1d\theta -\int co{s}^2\theta d\theta$$ $$\int co{s}^2\theta d\theta =\frac{cos\theta sen\theta }{2}+\frac{\theta }{2}$$

Voltando a equação original $$16\int co{s}^2\theta d\theta =16(\frac{cos\theta sen\theta }{2}+\frac{\theta }{2})$$

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo $\theta$ para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a $\theta$ igual a $x$, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo $\theta$ valerá $\sqrt{16-x^2}$. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações: $$cos\theta =\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}$$ $$sen\theta =\frac{x}{4}$$

O ângulo $\theta$ pode ser expresso como$arcsen\frac{x}{4}$ Obtendo assim como resposta final:

$\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+8arcsen\frac{x}{4}+C$