Integral de superfície

Predefinição:Mais fontes Predefinição:Cálculo Uma integral de superfície é uma generalização das integrais múltiplas sobre uma superfície. Dada uma superfície S, pode-se integrar sobre ela um campo escalar ou um campo vetorial. Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias, tais como em problemas envolvendo fluxo de fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade. Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície. Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo, indicado por pela letra grega maiúscula Φ.

Definição

Seja $g:{ℝ}^3\to ℝ$, $g=g(x,y,z)$, uma função definida em todos os pontos de uma superfície $S$. A integral de superfície de $g$ sobre $S$ é definida por:

$$\int \underset{S}{\int }gd\sigma$$

onde, $d\sigma$ é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se $S$ é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial $F$ sobre $S$ por:

$$\int \underset{S}{\int }𝐅\cdot 𝐧d\sigma$$

onde, $𝐧$ é o campo normal escolhido na orientação da superfície. O integrando na forma de produto escalar evidencia que somente as componentes do campo perpendiculares à superfície $S$ contribuirão no cálculo do fluxo.

Orientação

Assim como as curvas, também as superfícies precisam ser orientadas, a fim de que, ao adotar certa convenção, sempre se encontre o mesmo sinal para fluxo Φ. Diz-se que uma superfície de dois lados é orientável e que uma superfície de um único lado é não orientável. Assim, existe a necessidade de distinção dos lados de uma superfície orientável e convenção para orientação considerada positiva e negativa, pois ao inverter a orientação de S inverte-se o sinal de Φ.

Sendo assim:

O sinal de $\overrightarrow{n}$ serve para orientar $S$.

Para o cálculo de $\overrightarrow{n}$:
Suponha que a superfície $S$ seja dada como: $z=g(x,y)$ ou $y=g(x,z)$ ou $x=g(y,z)$.
Reescrevendo cada uma das equações na forma $G(x,y,z)=0$ é possível interpretar a última como a equação de uma superfície de nível de uma função $w=G(x,y,z)$.
A partir do conceito que $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}G$ é um vetor 3-D e representa um vetor normal à superfície de nível $G(x,y,z)=0$, pode-se definir $\overrightarrow{n}$ da seguinte forma:

$\overrightarrow{n}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}G}{|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}G|}$ ou $\overrightarrow{n}=-\frac{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}G}{|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}G|}$

Elemento de área

Elemento de área de uma superfície lisa.

O cálculo do elemento infinitesimal de área sobre a superfície pode ser feito com o auxílio de uma projeção adequada da superfície $S$ sobre um plano do espaço cartesiano. Suponhamos que $S$ é descrita pela superfície de nível $f(x,y,z)=c$. Consideremos, ainda, um plano dado $\alpha$ de normal unitária $𝐩$. A projeção de $S$ sobre $\alpha$ define uma região planar que denotaremos por $R$.

Com isso, aproximamos um elemento de área $\mathrm{\Delta }S$ da superfície $S$ pela área do elemento tangente associado. Este, por sua vez, pode ser calculado em função do elemento de área $\mathrm{\Delta }S$ projetado sobre o plano $\alpha$. Denotando este por $\mathrm{\Delta }A$, temos:

$$\mathrm{\Delta }S\approx \frac{1}{|\cos \gamma |}\mathrm{\Delta }A$$

onde, $\gamma$ é o ângulo entre o vetor gradiente $\mathrm{\nabla }f$ e o vetor $𝐩$ calculado em algum ponto de $\mathrm{\Delta }S$.

Assim, podemos calcular o elemento de área $d\sigma$ por:

$$d\sigma =\frac{1}{|\cos \gamma |}dA$$

onde, $\gamma$ é o ângulo entre o vetor gradiente $\mathrm{\nabla }f$ e o vetor $𝐩$. $dA$ é o elemento de área planar.

Observamos, ainda, que o ângulo $\gamma$ está relacionado ao produto interno entre $\mathrm{\nabla }f$ e $𝐩$ por:

$$\mathrm{\nabla }f\cdot 𝐩=|\mathrm{\nabla }f||𝐩|\cos \gamma$$

Segue, daí, que o elemento de área $d\sigma$ pode ser calculado por:

$$d\sigma =\frac{|\mathrm{\nabla }f||𝐩|}{|\mathrm{\nabla }f\cdot 𝐩|}dA$$

Teorema

Seja $S$ uma superfície suave da forma $z=g(x,y)$ ou $y=g(x,z)$ ou $x=g(y,z)$ e seja $\overrightarrow{F}$ um campo vetorial contínuo em $S$. Supondo também que a equação de $S$ seja reescrita como $G(x,y,z)=0$, ao passar $g$ para o membro esquerdo da equação e seja $R$ a projeção de $S$ no plano coordenado das variáveis independentes de $g$. Então:
$$\varphi =\int \underset{S}{\int }\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{n}dS=\pm \int \underset{R}{\int }\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}GdA$$

Cálculo da integral de superfície

Com base no cálculo do elemento de área sobre uma superfície podemos calcular a integral de superfície como uma integral dupla sobre uma região planar. Seja $g:{ℝ}^3\to ℝ$, $g=g(x,y,z)$, uma função definida em todos os pontos de uma superfície $S$ descrita pela superfície de nível $f(x,y,z)=c$. Seja, ainda, $R$ a região planar definida pela projeção de $S$ sobre um plano dado $\alpha$. Então, a integral de superfície de $g$ sobre $S$ pode ser calculada pela seguinte integral dupla sobre $R$:

$$\int \underset{S}{\int }gd\sigma =\int \underset{R}{\int }g\frac{|\mathrm{\nabla }f||𝐩|}{|\mathrm{\nabla }f\cdot 𝐩|}dA$$

Observações Importantes

• Já que foi feita substituição de uma integração de superfície por uma integração dupla na região dos planos coordenados, o integrando deve coincidir com os pontos da superfície. É indispensável identificar a superfície.

• Nas aplicações, as superfícies mais simples são os planos, cúbicas, e os tetraedros. Também é possível ter superfícies de revolução, como cilíndricas, e superfícies quádricas.

• É importante a observação do integrando $\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}G$, para escolha do sistema de coordenadas mais apropriado, tendo em vista a simetria da superfície.

Exemplo

Exemplo da apostila da prof Irene Strauch.

• Calcular o fluxo de $\overrightarrow{F}=3z^2\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}+6xz\overrightarrow{k}$ através da superfície $S$ dada por $y=x^2$ com $0\le x\le 2$ e $0\le z\le 3$ e orientada para fora da concavidade.

Resolução

$G(x,y,z)=y-f(x,z)=y-x^2$
$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}G(x,y,z)=-2x\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}G=-6x{z}^2+6$
A região projetada é o retângulo no plano $xz$ restrito a $0\le x\le 2$ e $0\le z\le 3$, então
$\varphi =\int \underset{R}{\int }(-6x{z}^2+6)dA$
$\varphi =-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\underset{0}{\overset{2}{\int }}(-6x{z}^2+6)dxdz$
$\varphi =-36+(4\cdot 27)=72$

Integral de superfície de campos escalares

Supondo que f seja uma função de um campo escalar de três variáveis em uma superfície suave S. Para encontrar uma fórmula explícita da integral de superficie f sobre S, é precido parametrizar S. Dada a parametrização r(s, t), onde (s, t) varia em alguma região T no plano, a integral de superfície é definida por:

$\underset{S}{\iint }f\mathrm{d}S=\underset{T}{\iint }f(𝐫(s,t))\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}\Vert \mathrm{d}s\mathrm{d}t$

Se S for o gráfico de uma função $z=z(x,y)$, então:

$\begin{array}{cc}\underset{S}{\iint }f\mathrm{d}S& =\underset{T}{\iint }f\mathbf{(}x,y,z(x,y))\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2+1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$

Onde T é a projeção de S sobre o plano xy.

Integral de superfície de campos vetoriais

O fluxo total através da superfície é encontrado somando-se o produto $𝐅\cdot 𝐧dS$ para cada partição. A medida que os pedaços se tornam infinitamente pequenos, a integral da superfície é $\underset{S}{\int }𝐅\mathbf{\cdot }𝐧dS$

Seja uma superfície suave $S$ representada por $\overrightarrow{r}(u,v)=x(u,v)\overrightarrow{i}+y(u,v)\overrightarrow{j}+z(u,v)\overrightarrow{k}$ e $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n}(u,v)$ um vetor unitário normal a essa superfície. Dado um campo vetorial $\overrightarrow{f}$ definido sobre $S$, a integral de superfície é definida por:

$\begin{array}{c}\underset{S}{\iint }(\overrightarrow{𝐟}\cdot \overrightarrow{𝐧})\mathrm{d}s=\underset{T}{\iint }\overrightarrow{𝐟}(\overrightarrow{𝐫}(s,t))\cdot \overrightarrow{n}(s,t)\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}\Vert \mathrm{d}s\mathrm{d}t\end{array}$

quando a integral da direita existe. Se $S$ é suave por partes, a integral é definida sobre a soma das integrais de cada fragmento de $S$. Como o vetor unitário $\overrightarrow{n}$ é dado por:

$\begin{array}{c}\overrightarrow{n}=\frac{\frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}}{\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}\Vert }\end{array}$

os módulos do produto vetorial se anulam. A expressão se torna:

$\begin{array}{c}\underset{S}{\iint }(\overrightarrow{𝐟}\cdot \overrightarrow{𝐧})\mathrm{d}s=\pm \underset{T}{\iint }\overrightarrow{𝐟}(\overrightarrow{𝐫}(s,t))(\frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t})\mathrm{d}s\mathrm{d}t\end{array}$

A integral terá sinal positivo se o lado de $S$ escolhido para integração for o lado do qual emana o vetor unitário $\overrightarrow{n}$. Do contrário, o sinal será negativo.

Aplicações

Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Aqui, discutimos rapidamente algumas delas.
Na Mecânica dos Fluidos poderemos ter fluxo de um campo de velocidades $\overrightarrow{v}$. No Eletromagnetismo teremos fluxo de um campo elétrico $\overrightarrow{E}$ ou de um campo de indução magnética $\overrightarrow{B}$ através de uma superfície $S$. Se o campo vetorial for um campo de densidade de corrente, indicado pela letra $\overrightarrow{J}$, então o fluxo terá dimensão de massa por unidade de tempo ou de corrente elétrica, conforme estejamos estudando o movimento de um fluido ou o movimento de cargas elétricas, respectivamente.

Massa

Suponhamos que $S:f(x,y,z)=c$ descreve a superfície de uma placa fina com densidade de massa dada pela função $\delta =\delta (x,y,z)$. Então, a massa $M$ da placa é dada pela integral de superfície:

$$M=\int \int gd\sigma$$.

Fluxo

Uma superfície (orientada de acordo com que o fluxo positivo seja atravessando-a de baixo para cima) e linhas de campo atravessando-a.

Seja $S:f(x,y,z)=c$ uma superfície no espaço e $\overrightarrow{F}$ um campo vetorial. Em cada ponto de S existem dois vetores normais unitários, apontando em direções opostas; o vetor normal unitário com orientação positiva, denotado por $\hat{n}$. Se S é uma superfície fechada, como uma esfera ou um cubo, então por convenção ela é orientada de forma que o lado exterior seja o positivo($\hat{n}$sempre aponta pra fora de S).

Então o fluxo através de S é determinado por

$$\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}\cdot \hat{n}dS$$

onde $dS$ é o elemento de área da superfície

Também é usada a notação $\overrightarrow{dS}=\hat{n}dS$

Por exemplo, se $\overrightarrow{F}$ é o campo de velocidades de um escoamento, então esta integral fornece o fluxo do escoamento através de $S$.

Ver também

• Teorema de Stokes
• Teorema de Gauss