Interpolação trigonométrica

A interpolação trigonométrica é um método de aproximar uma função por meio de uma soma de funções trigonométricas, isto é, funções seno e cosseno, de diferentes frequências, o objetivo da interpolação trigonométrica é encontrar uma função que passe por um determinado conjunto de pontos de dados, mas que também tenha um comportamento suave e periódico.

Na interpolação trigonométrica, a função é representada como uma série de Fourier, que é uma soma infinita de funções trigonométricas com diferentes frequências e coeficientes. Escolhendo as frequências e coeficientes apropriados, a série de Fourier pode ser usada para aproximar os pontos de dados.

A interpolação trigonométrica tem aplicações em muitas áreas, incluindo processamento de sinais, compressão de áudio e imagem e análise numérica. Também é usada no estudo de análise harmônica e análise de Fourier.

Formulação do Problema

O polinômio trigonométrico de grau n tem a forma:

$p(x)=a_0+\sum _{j=1}^n{a}_j\cos (jx)+\sum _{j=1}^n{b}_j\sin (jx).$

com

$2n-1$

coeficientes:

$a_0,a_1,...a_{n}e{b}_0,b_1,...,b_n$

. Todo problema de interpolação é descrito como

$f(x_k)=y_k$

, onde

$k=0,1,2...n-1$

. Como o polinômio trigonométrico tem período

$2\pi$

, podemos assumir que

$0\le x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{N-1}<2\pi .$

O problema agora é encontrar coeficientes, de forma que o polinômio trigonométrico satisfaça as condições de interpolação.

Se o número de pontos for ímpar: $m=\frac{n-1}{2}$
e $\mathrm{\Psi }(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{k=1}^m[A_k\cdot \cos (k\cdot x)+B_k\cdot \sin (k\cdot x)]$
Se o número de pontos for par: $m=\frac{n}{2}$
e $\mathrm{\Psi }(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{k=1}^{m-1}[A_k\cdot \cos (k\cdot x)+B_k\cdot \sin (k\cdot x)]+\frac{A_m}{2}\cdot \cos (m\cdot x)$
Para ambos os casos:

$A_j=\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_k)\cdot \cos (j\cdot x_k)]$

$B_j=\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_k)\cdot \sin (j\cdot x_k)]$

Formulação no plano complexo

Utilizando a fórmula de De Moivre, podemos reescrever a soma de seno e cosseno como
$e^{ikx}=cos(kx)+isen(kx)$ Então o polinômio pode ser escrito como

$p(x)=\sum _{k=-n}^n{c}_k{e}^{ikx},$

onde $c_0=a_0$ , $c_k=\frac{1}{2}(a_k+i{b}_k)$ e $c_{-}k=\frac{1}{2}(a_k-i{b}_k)$
Se $z=e^{ix}$ podemos reescrever $p(x)$ como $p_n(z)=\sum _{k=-n}^n{c}_k{z}^k,$
onde $z^n{p}_n(z)$ é um polinômio de grau $\le 2n.$
O problema de interpolação, então, resume-se a $p_n(z_k)=f(t_k),k=0,1,2,...,2n$

Exemplos

Exemplo 1

Encontrar o polinômio interpolador trigonométrico de grau dois para $f(t)=e^{sint+cost}$ em $[0;2]$
$p_2(t)=\frac{a_0}{2}+c_{1}cost+c_{2}cost+b_{1}sint+b_{2}sin2t$
de forma que $p_2(t)=e^{sin{t}_l+cos{t}_l}$ e $t_l=\frac{2}{\pi }5l$ onde $l=0,1,2,3,4.$
$a_l=\frac{2}{2n+1}\sum _{k=0}^{2n}f(t_k)cosl{t}_k,$
$b_l=\frac{2}{2n+1}\sum _{k=0}^{2n}f(t_k)sinl{t}_k,$
$a_0=3,12764,a_1=1,24872,a_2=0,09426,b_1=1,27135,b_2=0,49441$

Exemplo 2

Interpolar os seguintes pontos:

$\begin{array}{ccccc}k& 0& 1& 2& 3\\ f_k& 1& 3& -2& -1\end{array}$

Número de pontos $n=4$ (par) Grau: $m=\frac{n}{2}=2$

$x_k=k\cdot \frac{2\pi }{4}\Rightarrow x_k=\{0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3}{2}\pi \}$

$A_0=\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{f}_k\cdot \cos (k\cdot x_k)=\frac{2}{4}\sum _{k=0}^3{f}_k\cdot \cos (k\cdot 0)=\frac{1}{2}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)=\frac{1}{2}$

$A_1=\frac{2}{4}\sum _{k=0}^3{f}_k\cdot \cos (k\cdot x_k)=\frac{1}{2}[1\cdot \cos (0)+3\cdot \cos (\frac{\pi }{2})-2\cdot \cos (\pi )-1\cdot \cos (\frac{3}{2}\pi )]=\frac{3}{2}$

$A_2=\frac{2}{4}\sum _{k=0}^3{f}_k\cdot \cos (k\cdot x_k)=\frac{1}{2}[1\cdot \cos (0)+3\cdot \cos (\pi )-2\cdot \cos (2\pi )-1\cdot \cos (3\pi )]=-\frac{3}{2}$

$B_0=\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{f}_k\cdot \sin (k\cdot x_k)=0$

$B_1=\frac{2}{4}\sum _{k=0}^{n-1}{f}_k\cdot \sin (k\cdot x_k)=\frac{1}{2}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2$

$B_2=\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{f}_k\cdot \sin (k\cdot x_k)=0$

Resultado:

$\mathrm{\Theta }(x)=\frac{1}{4}+A_1\cdot \cos (x)+B_1\cdot \sin (x)+\frac{A_2}{2}\cdot \cos (2x)=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\cos (x)+2\sin (x)-\frac{3}{4}\cos (2x)$