Lei das tangentes

Um triângulo

Predefinição:Trigonometria Em trigonometria, a lei das tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Tal proposição foi descoberta por volta de 1580, pelo matemático François Viète.

Sejam a, b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e γ, os respectivos ângulos opostos a estes três lados. A lei das tangentes estabelece que

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Proposição

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo $ABC,$ cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{B})]}{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}-\hat{B})]},$

$\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{C})]}{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}-\hat{C})]},$

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\hat{B}+\hat{C})]}{\tan [\frac{1}{2}(\hat{B}-\hat{C})]}$

Demonstração

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

$\frac{a}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}}=\frac{b}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}$

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{A}-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\hat{B}}$

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\hat{A}-\hat{B}}{2}}{2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\hat{A}+\hat{B}}{2}}$

$\Rightarrow \frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{B})]}{\tan [\frac{1}{2}(\hat{A}-\hat{B})]}$

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Ver também

• Lei dos senos
• Lei dos cossenos

Ligações externas

• Predefinição:Link