Lei do logaritmo iterado

Plot de $S_n/n$ (vermelho), o desvio padrão $1/\sqrt{n}$ (azul) e o limite $\sqrt{2\log \log n/n}$ dado pela LIL (verde). Note que ele muda de forma aleatória do limite superior para o inferior. Os eixos não são lineares para fazer esse efeito mais visível.

Na teoria das probabilidades, a lei do logaritmo iterado (também chamada de LIL, do inglês law of iterated logarithm) descreve a magnitude da oscilação do passeio aleatório. A definição original desta lei foi feita pelo matemático soviético Aleksandr Khinchin em 1924. No entanto, a tese contida nesta foi expandida por Andrei Kolmogorov em 1929.

Definição

Seja $\{Y_n\}$ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e desvio unitário. Seja $S_n=Y_1+\dots +Y_n$. Então,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n\log \log n}}=\sqrt{2},\text{q.c.},$

onde $\log$ é o logaritmo natural, $\mathrm{lim\; sup}$ indica o limite superior, e $\text{q.c.}$ significa "quase certamente".

Discussão

A lei de iterado logaritmos opera "entre" a lei dos grandes números e o teorema central do limite. Existem duas versões da lei dos grandes números — a fraca e a forte — e ambas afirmam que as somas $S_n$, dimensionadas por $n^{-1}$, convergem para zero, respectivamente em probabilidade e quase certamente:

$\frac{S_n}{n}\stackrel{p}{\to }0,\frac{S_n}{n}\stackrel{q.c.}{\to }0,\text{conforme}n\to \mathrm{\infty }.$

Por outro lado, o teorema central do limite afirma que as somas $S_n$ dimensionadas pelo fator $n^{-1/2}$ convergem em distribuição para uma distribuição normal padrão. Pela lei zero-um de Kolmogorov, para qualquer $M$ fixo, a probabilidade de que o evento $\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}>M$ ocorra é 0 ou 1. Então

$\mathrm{Pr}(\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}>M)⩾\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\mathrm{Pr}(\frac{S_n}{\sqrt{n}}>M)=\mathrm{Pr}(𝒩(0,1)>M)>0$

o que resulta que

$\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\mathrm{\infty }\text{com probabilidade 1.}$

Argumento idêntico mostra que

$\underset{n}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{S_n}{\sqrt{n}}=-\mathrm{\infty }\text{com probabilidade 1.}$

Isto implica que essas quantidades não convergem quase certamente. Ainda, eles também não convergem em probabilidade, o que resulta da igualdade

$\frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}-\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}-(1-\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{S_n}{\sqrt{n}}$

e o fato de que as variáveis aleatórias

$\frac{S_n}{\sqrt{n}}\text{e}\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}$

são independentes, e ambas converge em distribuição para $𝒩(0,1).$

A lei do logaritmo iterado fornece o fator de escala, onde os dois limites tornam-se diferentes:

$\frac{S_n}{\sqrt{n\log \log n}}\stackrel{p}{\to }0,\frac{S_n}{\sqrt{n\log \log n}}\stackrel{q.c.}{\nrightarrow }0,\text{conforme}n\to \mathrm{\infty }.$

Assim, embora a quantidade $S_n/\sqrt{n\log \log n}$ é menos do que qualquer predefinidos $\epsilon >0$ com probabilidade se aproximando de um, essa quantidade, no entanto, irá sair desse intervalo infinitamente, e de fato irá passar nos vizinhos de qualquer ponto no intervalo $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ quase certamente.

Generalizações e variantes

Exposição de teoremas do limite e suas interrelações.

A lei do logaritmo iterado para uma soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e incrementos delimitados remontam a Khinchin e Kolmogorov na década de 1920. Desde então, há uma enorme quantidade de trabalhos sobre a LIL para vários tipos de estruturas dependentes e processos estocásticos.

Hartman e Wintner generalizaram a lei do logaritmo iterado para passeios aleatórios com incrementos com zero de média e variância finita. Strassen estudou a LIL do ponto de vista dos princípios da invariância. Stout generalizou a LIL para martingales estacionários e ergódicos. Acosta fez uma prova simples da versão de LIL de Hartman e Wintner. Wittmann generalizou a versão de LIL de Hartman e Wintner para passeios aleatórios satisfazendo condições mais amenas. Vovk derivou uma versão de LIL válida para uma única sequência caótica (sequência aleatória de Kolmogorov). Isso é notável por estar fora do reino da teoria da probabilidade clássica. Yongge Wang mostrou que a lei do logaritmo iterado se mantém para sequências pseudo-aleatórias de tempo polinomial.

Veja também

• Teorema central do limite
• Lei dos grandes números
• Movimento browniano